1解：
?20arcsinxdx??xarcsinx??20111?201?dx??? 2261?xx1123．
?20?32?2?d(1?x)??1?x???1．
2?01212?21?x12??e1xlnxdx．
ee解：
?1xlnxdx??e1?x?lnxd()??lnx??2?2?1x22222e?ex21?dx??2x21e2?ex21dx
?x?ee1e?1??????(?)?． 2?4?12444e4．
22?40exdx．
2解：令 故
x?t，则 x?t，dx?2tdt，且当x?0时，t?0；当x?4时，t?2．
ex?40dx?2?tedt?2?td(e)?2??te??0?2?0edt 00t222t2tt22t ?4e?2??e??0?2e?2． 【例5-3】计算下列广义积分．
21．
???0edx． edx????e?x?x?x解：
?1??0?(?e?0?xlim??????x)?(?1)?0?1?1．
2．
???11?x2dx．
dx??arctanx?12??解：
???11?x11?limarctanx?arctan1?x????2??4??4．
3．
?????1?x2dx．
解：
?????11?xdx??arctanx????limarctanx?limarctanx 2x???x????????2?2?(??2)??．
4．
?1x2sin1xdx．
?解：
???21x2sin1x?dx???2???1?1?sind()??cos??limcos?0?1．
x???xxx?2x??11??【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．
1．
ddxd?x01?tdt．
x221?x．
2解：
dx2．
?001?tdt?ddx?x21?tdt．
x22解：
ddxd?101?tdt?24241?x?(x)??2x1?x．
3．
?dxdsinxln(1?t)dt．
解：
?dxdx1sinxln(1?t)dt???dxdsinx1ln(1?t)dt??cosxln(1?sinx)．
4．
?dxddxx32arctantdt．
x3解：
?x2arctantdt?arctanx?(x)??arctanx?(x)?
323322 ?3x2arctaxn?x2arctx．an
【例5-5】求下列极限．
1．limx?0?x0costdtx．
2?解：应用洛必达法则，limx?0x0costdtx?limx?02cosx12?1．
?2．limx?0x0arctantdtxx2．
?解：limx?00arctantdtx2?limx?0arctanx2x?12（x?0时，arctan． x~x）
3．limx?0?x021?tdtxx222．
?解：limx?001?tdtx22?limx?01?x?2x2x2?lim1?x?1．
x?024．limx?0(?edt)xt22?0x0tex2t2．
dt2解：limx?0(?edt)t2?0x0te2t2?limx?02?edt?e0xt2x2dtxe22x2??2limx?0x0edtx?2limex?0t2x2?2．
?xe?x,?【例5-6】设函数f(x)??1,??1?cosxx?0, 计算
???x?0,?41f(x?2)dx．
解：设x?2?t，则dx?dt，且当x?1时，t??1；当x?4时，t?2．
42?10?1于是
?1f(x?2)dx??f(t)dt??11?costdt??20te?t2dt
??0?112cos12?2t2dt?12?20e?t2t???1?t?2 d(?t)?tan?e????2??1?2??0202?tan12e?4?1?112．
【例5-7】计算定积分
1?1?(x?sinx)xdx．
2解：
?(x?sinx)xdx?2?1?1xxdx?2?1?1xsinxdx?2?xdx?0
0213?21?14?x?． ?4???021【例5-8】求下列平面图形的面积． 1．计算由两条抛物线y解：此区域既可看成X2?x和y?x所围成的平面图形的面积．
2?型区域，又可看作Y?型区域．按X?型区域解法如下：
两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，故
31?2213?211??． 面积 S??(x?x)dx??x?x??03?0333?3122．求由抛物线解：按Yy?x，直线y??x及y?1所围成的平面图形的面积．
?型区域来做，先求出图形边界曲线的交点(0,0)、(?1,1)及(1,1)，故
10面积 S??(?2212?217y?y)dy??y?y????．
2?3?03262313．计算由曲线y?2x和直线y?x?4所围成的平面图形的面积．
解：此区域既可看成X?型区域，又可看作Y?型区域，但按Y?型区域解较为简便．先
2?y?2x求两曲线的交点，由 ? 可解得交点为(2,?2)和(8,4)，故
?y?x?4面积S?
?4?2(y?4?y22)dy?13??12y?4y?y?18． ?2?6???24【历年真题】
一、选择题
1．（2010年，1分）设?(x)??x2?2x02edt，则??(x)等于（ ）
?x2?t（A）e （B）?e?x （C）2xe （D）?2xe?x2
2?22?x?t??x2?x???(x)?2xe，选项（C）正确． 解：?(x)???edt??e0??2．（2010年，1分）曲线y?x与直线y?1所围成的图形的面积为（ ）
2（A）
23 （B）
234 （C）
43 （D）1
解：曲线y?x与曲线y?1的交点坐标为(?1,1)和(1,1)，则所围图形的面积为
?x?42(1?x)dx?x??．选项（C）正确． ????13??13?1313．（2010年，1分）定积分
?2?2xcosxdx等于（ ）
（A）?1 （B）0 （C）1 （D）解：因被积函数xcosx在[?2,2]上为奇函数，故二、填空题 1．（2010年，2分）
12
?2?2xcosxdx?0．选（B）．
?101?xdx? ．
2解：由定积分的几何意义，
?101?xdx表示曲线y?21?x，直线x?0，x?12