江苏省2001年普通高校“专转本”统一考试试卷
高等数学
注意事项：
1． 考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2． 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效。 本试卷共8页，四大题24小题，满分100分，考试时间120分钟。
一．选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）．
1． 下列极限中，正确的是 （ C ） A．lim?1??x?0?x??1??1??1???e； ??e； B．limx??x?x??11?1； Ｄ． limxsin?1．
x?0xxx1xＣ．limxsin２．不定积分
?11?x2dx? （ D ） 11?x2Ａ．
11?x2； Ｂ．
?C； Ｃ．arcsinx； Ｄ．arcsinx?C
３．若f(x)?f(?x)，且在(0,??)内：f?(x)?0，f??(x)?0，则f(x)在(??,0)内必有：（Ｂ） Ａ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｂ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｃ．f?(x)?0，f??(x)?0； Ｄ．f?(x)?0，f??(x)?0． 4．定积分
?20x?1dx? （ D ）
Ａ．0； Ｂ．2； Ｃ．?1； Ｄ．1． 5．方程x?y?4x在空间直角坐标系下表示：（ Ａ ） Ａ．圆柱面； B．点； C．圆； D．旋转抛物面．
22二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把正确答案的结果填在划线上）
?x?tetdy6．设参数方程为?；则? 2 ． 2y?2t?tdx?t?03x7．微分方程y???6y??13y?0的通解为：y?e(C1cos2x?C2sin2x)其中C1,C2是任意常数．
8．函数z?x的全微分dz?y?z?zdx?dy?yxy?1dx?xy?lnx?dy． ?x?y9．交换积分次序后
?dx?022xxf(x,y)dy??220dy?yf(x,y)dx??dy?yf(x,y)dx．
222y4210．设原式=
2f(x)为连续函数，则?64?f(x)?f(?x)?x?x3dx? ?25264344． （其中f?x??f??x?是偶函数） ??f(x)?f(?x)xdx?xdx?xdx???2??2??225三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40 分）
?x11．已知y?arctanx?ln(1?2)?cos，求dy.
5112xln2解：dy?(??)dx x1?x2x1?212．计算limx?0x??etdt0x2xsinxx22
2解：limx?0x??etdt0xsinx21?ex?lim x?02xsinx?x2cosx2?2xex1 ?lim ??2x?02sin3x?2xcosx?2xcosx?xsinx（第一步用等量替换也行，那样更简单些） 13．求函数f(x)?(x?1)sinx的间断点，并指出各间断点的类型。 2x(x?1)lnydy，求 xdxx?1y?1（x??1是第二类无穷间断点；x?0是第一类跳跃间断点；x?1是第一类可去间断点） 14．已知y?x?2y?x?lnyydyx2y?ylny?解：两边求导 2yy??1? 解得 故＝1 y?222x?1xdx2xy?xy?1e2xdx 15．计算?1?exe2xe2x?ex?ex(e2x?ex)?exdx??dx??dx 解：?xxx1?e1?e1?eexxxdx?=?edx??e?ln(1?e)?C x1?ex
k1dx?，求常数k的值. ???1?x220k?110dx?karctanx?k?k?解：由?， 得 ． ????1?x222?16．
017．求微分方程y??ytanx?secx，满足初始条件yx?0?0的特解 解：
??tanx?dx???tanx?dxdx?C??e?lncosxsecxelncosxdx?Cy?e?secxe??????
1x?C?[?secxcosxdx?C]?cosxcosx??yx?0?0?0?
0?Cx?C?0?y? cos0cosx2sinydxdy，其中D是由直线x?1,x?3,y?2，及y?x?1所围成的区域 ??Dy?118．计算二重积分解：原式=
?20siny2dy?1dx??ysiny2dy?021?cos4 219．已知曲线y?f(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线2x?y?3?0，若
f?(x)?3ax2?b，且f(x)在x?1处取得极值，试确定a,b的值，并求出函数y?f(x)的表达式。
解：1）“过原点的切线平行于2x?y?3?0”， ?f?(x)x?0?(3ax?b)2x?0??2,?b??2.
x?122）“f(x)在x?1处取得极值”（连续、可导），?f?(x)x?1?(3ax?b)?0，?a?2/3
y(0)?0232?f?(x)?2x?2，?y?f(x)??(2x?2)dx?x?2x?C?y?x3?2x．
3322x?z?2z20．设z?f(x,)，其中，f具有二阶连续偏导数，求． ,y?x?x?y2解：令u?x,v?2x，则z?f(u,v) y?z1?fu?(u,v)?2x?fv?(u,v)? ?xy?2z1?[fu?(u,v)?2x]?y?[fv?(u,v)?]?y?x?yy????x??1?1?x??(u,v)(?2)?fuu??(u,v)?0???fvu???u,v??0?fvv???u,v?????????2x??fuv???fu,v??2?v2?????y????y??y?y?1???u,v??xfvv???u,v??yfv??u,v?．??32x2yfuvy??四．综合题（本大题共4小题，共30分） 21．过P(1,0)作抛物线y?（2）由抛物线、切线以及x轴所围平面x?2的切线，求（1）切线方程；
图形的面积；（3）该平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周的体积。(本题满分10分) 解：1）由已知条件，可设切线方程为，y?k(x?1)
2）将切线方程与抛物线方程联立，消
y，得：
x2?(2?12)x?(1?)?0 22kk3）由于切点是唯一的交点，上述关于x的方程，必须有重根，即：
(2?得切线方程为：y?1221)?4?(1?)?0,?k??（舍去负号）
2k2k21(x?1) 24）解出切点坐标：（3，1），沿y轴积分，则所求面积A为：
11A??(y2?2)?(2y?1)dy=
03??或A??213?11?1??= (x?1)dx?(x?1)?x?2dx?????23?2??2?5) 该平面图形分别绕x轴旋转一周的体积为：
Vx???313?1?(x?1)dx???2?2???2??x?2dx??2?6
6）该平面图形分别绕y轴旋转一周的体积为：
Vy???(y2?2)2?(2y?1)2dy?01?6? 5（本题一开始不设斜率，设切点坐标也可以）
?f(x)?22．设函数g(x)??x??ax?0x?0，f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0，
（1） 求a，使g(x)在x?0处连续；（2）求g?(0)．(本题满分8分)
解：1)由g(x)在x?0处连续limg(x)?a，f(x)具有二阶连续导数及f(0)?0得
x?0limx?0f(x)f(x)?0f(x)?f?0??lim?lim?f?(0)?a 即 a?f??0?
x?0x?0xx?0x?0
2）由f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0 及limx?0f(x)f(x)?f?0??lim?f?(0)?a可导出 x?0xx?0g?(0)?limg(x)?g(0)f(x)/x?af(x)?ax?lim?limx?0x?0x?0xxx2f??x??af?(x)?f?(0) ?lim?limx?0x?02x2x1f?(x)?f?(0)1?lim?f??(0)x?02x?0223．设函数f(x)在[0,c]上具有严格单调递减的导数f?(x)，f(x)在x?0处右连续且f(0)?0，试证，对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a,b，恒有
f(a)?f(b)?f(a?b) 成立 (本题满分6分)
证：1）“f?(x)是[0,c]上严格单调递减的导数，f(x)在x?0处右连续” ?y?f(x)在[0,c]上是凸的。于是，
当p?(0,1)时，?x1,x2?[0,c]满足：
pf(x1)?(1?p)f(x2)?f[px1?(1?p)x2] （*）
2）取p?a，x1?0;x2?a?b，满足（*），代入得： a?bababf(0)?f(a?b)?f[?0?(a?b)]a?ba?ba?ba?b
b?f(a?b)?f(b)(**)a?b3）类似地，取p?b，x1?0;x2?a?b，得： a?bbabaf(0)?f(a?b)?f[?0?(a?b)]a?ba?ba?ba?b
a?f(a?b)?f(a)(***)a?b4）综合（**）（***）得：
f(a)?f(b)?f(a?b)
关于本题的另两种证明：
其一证明：设F(x)?f(a?x)?f(x)，则F(x)在闭区间[0,b]上连续，在开区间(0,b)内可导． 由f?(x)在[0,c]上严格单调递减，得F?(x)?f?(a?x)?f?(x)?0(0?x?b)
于是F(x)在[0,b]上单调递减，知F(b)?F(0)即f(a?b)?f(b)?f(a)?f(0) 而f(0)?0，故f(a)?f(b)?f(a?b) 其二证明：由拉格朗日定理知：
f(a?b)?f(b)?f?(?1)a(b??1?a?b)，
f(a)?f(0)?f?(?2)a(0??2?a)
由f?(x)在[0,c]上严格单调递减，知f?(?1)?f?(?2) 而f(0)?0，故f(a)?f(b)?f(a?b)
24．一租赁公司有40套设备要出租。当租金每套每月200元时，该设备可以全部租出；当租金每套每月增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备每套每月需要花20元的维持费。问租金定为多少时该公司可获最大利润。(本题满分6分) 解：设每月每套租金为（200?10x）。则，租出设备的总数为，（40?x）；每月的毛收入为，
(200?10x)(40?x)；维护成本为(40?x)?20。于是，利润为：
L(x)?(180?10x)(40?x)?7,200?220x?10x2L?(x)?0?x?11
(0?x?40)
比较x?0，x?11，x?40三处的利润值，因为L(11)?L(0)?L(40) 所以，租金为(200?10?11)?310元时，利润最大。