《概率论与数理统计》习题册答案1-8(2)

p?120

?2?(要求2?(40?40?)?1?0.80 则?(40?)?0.90 则

40??1.29 则

??40即??31 1.29

第三章 随机向量

1．

解：P{X?0,Y?0}?0;22C2C21P{X?0,Y?2}??;C7435112C3C2C26P{X?1,Y?1}??;C74352C32C23P{X?2,Y?0}??;C74352C32C23P{X?2,Y?2}??;4C73531C3C22P{X?3,Y?1}??;4C735P{X?0,Y?1}?0;P{X?1,Y?0}?0;121C3C2C26P{X?1,Y?2}??;C743511C32C2C212

P{X?2,Y?1}??;C743531C3C22P{X?3,Y?0}??;4C735P{X?3,Y?2}?02．

解：(1)F(??,??)???8k?1?????????f(x,y)dxdy??[?k(6?x?y)dy]dx?10224?k?118313 (6?x?y)dy]dx?02881.5411.5127(3)P{X?1.5}?F(1.5,??)??[?(6?x?y)dy]dx??(2?x)dx?028023224?x11212(4)P{X?Y?4}??[?(6?x?y)dy]dx??(x2?4x?6)dx?0288023(2)P{X?1,Y?3}??[?3．

6

x2???04.8y(2?x)dy?2.4(2?x)x解：fX(x)??f(x,y)dy?????0??14.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)???fY(y)??f(x,y)dx???y???0???0?x?1其它0?y?1其它

4．

解：fX(x)?????????y?x???xedy?ef(x,y)dy????0?y?y???0edx?yef(x,y)dx????0yx?0其它y?0其它

fY(y)??5．

?????1解：(1)fX(x)???00?x?1其它0?x?1,y?0其它

2

y?1?2?e因为X,Y相互独立,所以f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0?(2)方程有实根则?=4X2?4Y?0即Y?X2P{Y?X2}??[?01x20yxx11??1?21edy]dx??(1?e2)dx?1?2??e2dx0022?2?1?2?[?(1)??(0)]?0.14456． 解:

（1）F(??,??)??1?1dx?2cxydy?cx1214?1 故 c?

421?2124?x(1?x),?1?x?1（2）fX(x)??8

?0,其它??75?y2,0?y?1 fY(y)??2?0,其它?

7．解：（1）由于X在（0，1）服从均匀分布

?1,0?x?1 故f(x)?? 则1?y?e

0,其它?又y?e单调递增且可导，其反函数为：x?lny

x 7

设Y?e的概率密度为：g(y)

x?1'?1?(lny)??,1?y?e于是g(y)?? ??y??0,其它?0?（2）由于0?y，故 Y??2lnX的反函数为h(y)?ey??1??f[h(y)]?(h(y))?e2,y?0故 g(y)?? ??20??0,y?0??'1?y2

8．解法1： 由于X和Y是两个相互独立的随机变量， 由卷积公式fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy可得

当z?0时， fZ(z)=0

当0?z?1时， fZ(z)??z0e?ydy?1?e?z

当1?z时，由0?x?1，知0?z?y?1，即：z?1?y?z

fZ(z)??e?ydy?e1?z?e?z

z?1z解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。

9．解：（1）

fX(x)?????????1?1?(x?y)?x(x?y)edy,x?0x?0??0?(x?1)ef(x,y)dx??? 2?2?0,x?0?0x?0???1?yy?0?(y?1)e同理 fY(y)???2

?y?0?0由于f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X和Y不相互独立的。

fz(z)???????z1?z?12?zz?0??0zedx?zef(x,z?x)dx??2??2

??0??0z?0未完

8

错误！未找到引用源。第四章 随机变量的数字

特征

1． 解：令A表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p，T表示每次检验发现的次品个数，易知T?B(10,0.1)，且X?B(4,p)。 得，

01 p?P(A)?P{T?1}?1?P{T?1}?1?C10(0.1)0(0.9)10?C10(0.1)1(0.9)9?0.2639。

因为X?B(4,p)，得E(X)?4?p?1.0556。

??15002． 解：E(X)????xf(x)dx??0x2?x dx?(x?3000)dx?500?1000?1500。22?15001500150030003． 解：E(X)???xi?1?kpk?(?2)?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2。

2E(X)??xkpk?4?0.4?0?0.3?4?0.3?2.82i?1

2E(3X?5)??(3xk?5)pk?17?0.4?5?0.3?17?0.3?13.4 ；

2i?1?E(3X2?5)?3E(X2)?5?13.4

4．解：

???????x?x??0（1）E(Y)?E(2X)?2E(X)?2?????xf(x)dx?2?x?edx?2(?xe|0????e?xdx)?2.

0（2）E(Y)?E(e?2X)????e?2x??f(x)dx???e?3xdx??e?3x|0?.

011335． 求E(X), E(Y);（2）求Z=Y/X, 求E(Z);（3）设Z?(X?Y)，求E(Z)。 解：（1）E(X)?2?xpii?133i???xi?pij?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2.

i?13j?1333E(Y)??yjp?j??yj?pij??1?0.3?0?0.4?1?0.3?0.

j?1j?1i?1（2）

9

Z=Y/X P 7-1 -0.5 -1/3 0 1 0.5 1/3 0.2 0.1 0.0 0.4 0.1 0.1 0.1 E(Z)? （3）

11. zp??1?0.2?(?0.5?0.1)?...?0.5?0.1??0.1???ii315i?1Z?(X?Y)2 P 54 9 16 1 0 0.3 0.4 0.0 0.2 0.1 E(Z)??zipi?4?0.3?9?0.4?16?0.0?1?0.2?0?0.1?5.

i?1

????1x6．解：E(X)???????xf(x,y)dxdy???12xy2dydx?001x4 5???? E(Y)?33 yf(x,y)dxdy?12ydydx?????5????00????1x E(XY)???????2xyf(x,y)dxdy???12xy3dydx?00????1x21 2 E(X?Y)?

2??????(x222?y)f(x,y)dxdy???12(x?y)ydydx?1.067

0027．解： X的分布密度为f(x)?????1/2,??????x?2,。 由题意知A?X?(10?X)，则

?0,???????其他2126E(A)?E(10X?X2)??(10x?x2)f(x)dx??(10x?x2)dx??8.67.

23??01 E(A)?E(10X?X)??2022221448432x?20x?10x0d)?x.

15 D(A)?E(A)?(E(A))?22964?21.42 458．解：以X1和X2表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T?X1?X2，由条件概率知Xi(i?1,2)的概率密度为

10