?5e?5x, x?0, f(x)i??
?0, x?0 .两台仪器五故障工作的时间X1和X2显然相互独立。
利用两独立随机变量和密度函数公式求T的概率密度，对t?0，有
f(t)??????f1(x)f2(t?x)dx?25?e?5xe?5(t?x)dx?25te?5t.
0??当t?0时，显然f(t)?0,于是，得
?25te?5t, t?0, f(t)???0, t?0.由于Xi(i?1,2)服从指数为5的指数分布，知
E(Xi)?因此，有
E(T)?E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?由于X1和X2相互独立，可见
11, D(Xi)?(i?1,2). 5252, 5D(T)?D(X1?X2)?D(X1)?D(X2)?9． 解：93年考研数学一。
2. 251710．解：E（X）=?xfX(x)dx???xf(x,y)dxdy???x(x?y)dxdy?
8006-?????15E（X）=?xfX(x)dx???xf(x,y)dxdy???x2(x?y)dydx?
8003-?????222+?????22+?????22则 D(X)?E(X)?(E(X))?2211. 36711,??D(Y)? 636由联合概率密度函数中X、Y的对称性，得 E(Y)?22114E（XY）=??xy(x?y)dxdy?，???cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??
368003?XY?
5cov(X,Y)1??，D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?.
911D(X)D(Y)第五章 大数定律和中心极限定理
11
1．
1 2．C 123．解：
(1)设X表示100个部件中正常工作的部件数，则X?B(100,0.9).85-100?0.9??X-100?0.9P?X?85??1?P?X?85??1?P???
100?0.9?0.1??100?0.9?0.155?1??(?)??()?0.952533(2)设X表示n个部件中正常工作的部件数，则X?B(n,0.9).0.8n-n?0.9??X-n?0.9P?X?0.8n??1?P?X?0.8n??1?P???n?0.9?0.1n?0.9?0.1???1??(?0.1nn)??()?0.9530.3n?至少为25
4．解：设X(i?1,2,?,n)是装运的第i箱的重量（单位：千克）。n是所求箱数。由条件可把
iX(i?1,2,?,n)视为独立同分布随机变量，而n箱的总重量 i Tn?X1?X2???Xn 是独立同分布的随机变量之和。
由条件知E(Xi)?50, D(Xi)?5; E(T)?50n, D(T)?5n. 由中心极限定理知Tn近似服从正态分布N(50n,5n)。 箱数决定于条件
T?50n5000?50n1000?10n P{Tn?5000}?P{n?Tn?}??()?0.977??(2)
5n5nn由此可见
1000?10nn?2
从而n?98.0199，即最多可以装98箱。
第六章 数理统计的基本知识
12
11．f(x,?,x)?()e2??10110?12?2?(x??)ii?1102；f(x)=112??10?e(x??)212*?210,???x???。
2．t分布；9。 3．
11, , 2. 20100
4．解：
?x?N(0,1)0.3x??()??(10)0.3i10i22i?1
10?P{?x?1.44}?P{?(2i?1ii?110x1.44)?}?P{?(10)?16}?0.10.30.3i222第七章 参数估计
1． 样本均值X?74.002
18样本方差S?(Xi?X)2?6.857?10?6 ?8?1i?1281??样本二阶中心矩S(Xi?X)2?6?10?6 ?8i?122?6??均值与方差的矩估计值分别为：??74.002???????6?10
2．（1）矩估计
EX????cx?c?x?(??1)dx???c?x??dx?c???c ??11n?xini?1令
?c????X，?的估计值为??X，得?的估计量为?
1n??1X?c?xi?cni?1（2）极大似然估计
L(?)??c?x1?(??1)...?c?xn?(??1)?(?c?)n(x1...xn)?(??1)
LnL(?)?nLn(?c)?(??1)?Lnxi
?i?1n?LnLn令??nLnc??Lnxi?0
???i?1n 13
??得?的估计值为?n?Lnx?nLncii?1n??，?的估计量为?n?LnXi?1n
i?nLnc3．（1） 矩估计
X?1?2?14? 33EX?1??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2?
??令EX?X 得?的估计值为?极大似然估计
5 6L(?)?P(X?x1)P(X?x2)P(X?x3)??2?2?(1??)??2?2?5?2?6
令
?LnL51??5 ???0，得?的估计值为?6???1??（2）矩估计
1n??X??Xi
ni?1极大似然估计
L(?)?P(X?x1)P(X?x2)...P(X?xn)??xe??1x1!...?xe??nxn!?e??n??xix1!...xn!
xixi?LnL??????n??0,得的估计值为??令
???n1n从而?的估计量为??X??Xi
ni?14．解： 当α?1时, X的概率密度为
?β?,x?1， f(x,β)??xβ?1
??0，x?1，(Ⅰ) 由于
EX??????xf(x;β)dx??x?1??βxβ?1dx?β, β?1令
βX?X, 解得 β?, β?1X?1所以, 参数β的矩估计量为 β?
X. X?114
(Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为
?βn,xi?1(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)β?1
12ni?1?0,其他.?n当xi?1(i?1,2,?,n)时, L(β)?0, 取对数得 lnL(β)?nlnβ?(β?1)对β求导数，得
?lnx,
ii?1nd[lnL(β)]nn ???lnxi，
dββi?1d[lnL(β)]nn令 ???lnxi?0， 解得 β?dββi?1n，
i?lnxi?1n于是β的最大似然估计量为
?? βn?lnxi?1n．
i( Ⅲ) 当β?2时, X的概率密度为
?2α2?f(x,β)??x3,??0，x?α， x?α，对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为
?2nα2n,xi?α(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)3
12ni?1?0,其他.?n当xi?α(i?1,2,?,n)时, α越大，L(α)越大, 即α的最大似然估计值为
??min{x1,x2,?,xn}, α于是α的最大似然估计量为
??min{X1,X2,?,Xn}． α
15