1.3 简单的逻辑联结词
逻辑联结词“且”“或”“非” [提出问题] 如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合且q闭合． 问题2：乙图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合或q闭合． 问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？ 提示：开关p不闭合时． [导入新知] 符号 含义 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题 对一个命题p全盘否定的一个新命题 读法 p∧q p∨q 綈p [化解疑难] p且q p或q 非p或 p的否定 1．“且”含义的理解
联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．
2．“或”含义的理解
联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或
q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.
3．“非”含义的理解
联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语
1
等价.
含有逻辑联结词的命题的真假判断 [提出问题] 如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．
问题1：什么情况下，p∧q为真？
提示：当p真，q真时．
问题2：什么情况下，p∨q为假？ 提示：当p假，q假时． 问题3：什么情况下，綈p为真？ 提示：当p假时． [导入新知]
“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断
p 真 真 假 假 [化解疑难]
q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 綈p 假 假 真 真 命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆
(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假； (2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．
用逻辑联结词联结新命题 [例1] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题． (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x＋4x＋3＝0的解． [解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
2
2
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
2
綈p：梯形没有一组对边平行．
2
(2)p∧q：－1与－3是方程x＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x＋4x＋3＝0的解． [类题通法]
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
[活学活用]
指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题： (1)方程2x＋1＝0没有实数根； (2)12能被3或4整除．
解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x＋1＝0有实根．
(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.
含有逻辑联结词的命题的真假判断 [例2] 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(2)p：函数y＝x－2x＋2没有零点，q：不等式x－2x＋1＞0恒成立． [解] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
2
2
2
2
2
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
22
(2)p∨q：函数y＝x－2x＋2没有零点或不等式x－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
綈p：函数y＝x－2x＋2有零点，假命题． [类题通法]
1．命题结构的两种类型及判断方法
(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断． (2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断． 2．判断命题真假的三个步骤
(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”； (2)对命题p和q的真假作出判断；
(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论． [活学活用]
分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x＋3x＋2＝0的根；
3
2
2
(3)A (A∪B)．
(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程
2
x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围 [例3] 已知命题p：方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
[解] “p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题． Δ＝m－4＞0，??
当p为真命题时，有?x1＋x2＝－m＞0
??x1x2＝1＞0，解得m＜－2； 当q为真命题时， 有Δ＝16(m＋2)－16＜0， 解得－3＜m＜－1.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)． [类题通法]
解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后
当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
[活学活用]
对命题p：1是集合{x|x＜a}中的元素；q：2是集合{x|x＜a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？
解：若p为真，则1∈{x|x＜a}， 所以1＜a，即a＞1；
若q为真，则2∈{x|x＜a}，即a＞4. 若“p或q”为真，则a＞1或a＞4，即a＞1； 若“p且q”为真，则a＞1且a＞4，即a＞4.
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2
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2
2
222
，
4
1.求解含联结词命题中的参数
[典例] (12分)已知命题p：函数y＝x＋2(a－a)x＋a－2a在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax－ax＋1＞0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
[解题流程]
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[活学活用]
若命题p：函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
2
解：綈p：函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数． 因为綈p为假命题， 所以p为真命题．
因此－(a－1)≥4. 故a≤－3，
即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
2
[随堂即时演练]
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