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考点25 数列求和及综合应用
一、选择题
1. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ12）数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为（ ）
（A）3 690 （B）3 660 （C）1 845 （D）1 830
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】选D.
?an?1???1?an?2n?1n，
，
?a2?1?a1,a3?2?a1,a4?7?a1,a5?a1,a6?9?a1,a7?2?a1,a8?15?a1,a9?a1a10?17?a1,a11?2?a1,a12?23?a1a??115?aa1，115?，…，a57?a1，a58?113?a1，a59?2?a1，a60119
?a1?a2?…?a60??a1?a2?a3?a4???a5?a6?a7?a8??…+?a57?a58?a59?a60?
?10?26?42?…+234＝
15??10?234?2?1 830. 1830二、填空题
nan?aan?1???1?an?2.（2012·新课标全国高考理科·T16）数列满足=2n-1，则?n?的
前60项和为__________.
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】
?an?1???1?an?2n?1n，
，
?a2?1?a1,a3?2?a1,a4?7?a1,a5?a1,a6?9?a1,a7?2?a1,a8?15?a1,a9?a1- 1 -
a10?17?a1,a11?2?a1,a12?23?a1115?115??aa1，60?，…，a57?a1，a58?113?a1，a59?2?a1，aa119
?a1?a2?…?a60??a1?a2?a3?a4???a5?a6?a7?a8??…+?a57?a58?a59?a60?
?10?26?42?…+234＝
15??10?234?2?1 830. 1830【答案】1 830
3. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b2 012是数列{an}中的第______项. （2）b2k-1=______（用k表示）.
【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法，解答本题可先根据数列{an}前项与后项的关系，求出数列{an}的通项，再结合数列{bn}与{an}的关系求出数列{bn}的通项解答本题.
【解析】数列{an}满足:a1=1,an-an-1=n(n≥2).
所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=错误！未找到引用源。(n≥2),当n=1时,也符合上式,则an=错误！未找到引用源。.
当n=4,5,9,10,14,15,19,20,…时,构成数列{bn}的第1,2,3,4,…项, 则可以看出n=5,10,15,20,…时,分别对应着{bn}的第2,4,6,8…项. (1)b2 012是数列{an}中的第5 030项. (2)b2k-1=错误！未找到引用源。.
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【答案】(1)5 030 (2)错误！未找到引用源。 4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）对于n?N?，将n表示为
n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,当i?k时ai?1，当0?i?k?1时ai为
0或1，
定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，
bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]
（1）b2+b4+b6+b8= .[
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 .[
【解题指南】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.本题实际是描述的将一个十进制的数转化为二进制，然后找出规律.
【解析】（1）观察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1； 依次类推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?22?0?21?0?20,b4?1；
5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0，b7?1,b8?1，
b2+b4+b6+b8=３.
（2）由（1）知cm的最大值为２. 【答案】（1）3 （2）2 三、解答题
5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）
已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8. （1） 求等差数列{an}的通项公式.
（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列{an}的前n项和.
【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公
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差,再代入求解. 【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2?a1?d,a3?a1?2d，由题意知
3a1?3d??3??a1?2?a1?-4或?解得?，故等差数列{an}的通项公式为：?a(a?d)(a?2d)?8d??3d?3???111an??3n?5或an?3n-7.
（2）当an??3n?5时，a2,a3,a1分别为-1，-4，2，不是等比数列，所以an?3n-7. 当n=1时，数列{an}的前n项和为：S1=4；当n=2时，数列{an}的前n项和为：S2=4+1=5；当n?3时，
Sn= -a1-a2+a3?a4?...?an?(a1?a2?...?an)?2s2=-4n+当n=2时,符合上式，所以
?4,n?1,?sn??3211
n?n?10,n?2.??22n(n-1)311?3?10?n2?n?10. 2226.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（1）用d表示a1，a2，并写出an?1与an的关系式.
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
【解题指南】本题考查递推数列在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数
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列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an?1与an的关系式
an?1?33an?d，第（2）问，只要把第（1）问中的an?1?an?d迭代，即可以解决. 22【解析】（1）由题意得a1?2000(1?50%)?d?3000?d，
35a1?d=4500-d，
223an?1?an(1?50%)?d?an?d.
23（2）由（1）得an?an?1?d
233?(an?2?d)?d 2233?()2an?2?d?d 22a2?a1(1?50%)?d???
33?33??()n?1a1?d?1??()2???()n?2?. 22?22??n?1整理得 an?()n?1(3000?d)?2d?()?1??
?323?23?()n?1(3000?3d)?2d. 23由题意，am?4000,即()m?1(3000?3d)?2d?4000,
2?3m?()?2?1000??1000(3m?2m?1)2??解得d?. ?mm3m3?2()?121000(3m?2m?1)故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m?3)年企业的剩余资金mm3?2为4 000万元.
7.（2012·江苏高考·Ｔ20）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：
an?1?an?bnan2?bn2，n?N?．
2????b??nbn?????bn?1?1?，n?Naan??n???是等差数列． （1）设，求证：数列?- 5 -