（2）设
bn?1?2?bn，n?N?an，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
an?1?an?bnan2?bn2=bn?1?b?1??n??an?2【解析】（1）∵
bn?12b?1?nan，∴
. ?b?bn?1?1??n??an? ∴ an?122. 22?2??bn?1??bn???bn???bn????????1????????1?n?N*?a?n?1??an???an???an???∴ .
2???bn???????a??n???是以 ∴数列?1 为公差的等差数列.
?an?bn?（2）∵an>0，bn>0，∴
1
?2从而.（﹡）
设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1. 若q>1,则
a1=a22logqa1q，∴当时，an?1?a1qn>2，与（﹡）矛盾.
若0 a1=a21>a2>1n>logqqa1，∴当 na?aq<1，与（﹡）矛盾. n?11时， ∴综上所述，q=1.∴an?a1?n?N*?，∴1 bn?1?2?2. bn22=?bnana1?n?N*?，∴{bn}是公比为a12>1a1的等比数列. 若a1?2，则，于是b1 bn=a1?a122?a12a12?1a1?a1?bna12?bn2又由，得. 2. ∴b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾.∴a1=- 6 - bn=2?∴ ???2?222?2??22=2?1. ∴a1=b1=2. 8.（2012·广东高考理科·Ｔ19） an??2Sn?an?1?2n?1?1,n?N?,a1,a2?5,a3设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列. （1） 求a1的值. a（2） 求数列?n?的通项公式. 1113?????an2. （3） 证明：对一切正整数n，有a1a2【解题指南】(1)根据 an?1?3an?2n,n?22Sn?an?1?2n?1?1,1时,an?Sn?Sn?1利用nn??2,可得到 ,从而得到a3?3a2?4,令n=1，2a1?a2?3,再根据a1,a2?5,a3成等差 数列得2a2?10?a1?a3,三个方程联立可解出a1. an?1an12n?n??(),n?2n?1n?1an?1?3an?2,n?233333(2)在（1）的基础上对的两边同除以得, nan?1an12na2a1512?????n??()21n?1333对n?1都成立， 再验证：33939也满足上式，因而3ann然后再利用叠加求和的方法确定3,进而确定{an}的通项公式. (3)解本题的关键是当n?3时， 012n?1nan?3n?2n?(1?2)n?2n?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?2n?2n ， 012n?1012?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?Cn?2?Cn?22?1?2n2?n2?1?n2?n2?2n11111?2?(?)ann?2n2nn?2，然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可. 【解析】（1） ?2Sn?an?1?2n?1?1, n?2时,2Sn?1?an?2n?1, - 7 - 两式相减得 an?1?3an?2n, ?a3?3a2?4,2a1?a2?3, 又?a1,a2?5,a3成等差数列， ?2a2?10?a1?a3 即4a1?16?a1?6a1?13, ?a1?1. (2)由（1）得a2?5, n?2时，an?1?3an?2, n两边同除以3得 an?1an12n?n??()n?13333. a2a1512?1???2?n?133939,也满足上式， 又时，an?1an12n?n??()n?1?n?1时，3333， ?ana1a2a1a3a2anan?1??(?)?(?)???(?n?1)n2132n33333333. n?121?()n1122213?1?(2)n??[?()2???()n?1]??3333331?233 ?an?3n?2n. 131113?1???1??2;当n=2时，a1a252. (3)当n=1时，a1012n?1nan?3n?2n?(1?2)n?2n?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?2n?2nn?3当时， 012n?1012?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?Cn?2?Cn?22?1?2n2?n2?1?n2?n2?2n， 11111?2?(?)ann?2n2nn?2， - 8 - 9.（2012·广东高考文科·Ｔ19） *an?Sn???SnTnTn?2Sn?n2nn设数列的前项和为，数列的前项和为，满足，n?N. (1)求a1的值. a(2)求数列?n?的通项公式. 【解题指南】 (1)根据 a1Tn?2Sn?n2，利用a1?S1?T1,可建立关于a1的方程，即可求 ,因为当n=1时， 出.(2)解答本题的关键是 n?2时,Tn?1?2Sn?1?(n?1)2,?Sn?Tn?Tn?1?2Sn?n2?[2Sn?1?(n?1)2]?2(Sn?Sn?1)?2n?1?2an?2n?1a1?S1?1也满足上式，所以Sn?2an?2n?1(n?1)，然后转化为常规题型来做即可. 【解析】（1）令n=1时，(2) 则 n?2时,Tn?1?2Sn?1?(n?1)2,?Sn?Tn?Tn?1?2Sn?n2?[2Sn?1?(n?1)2]?2(Sn?Sn?1)?2n?1?2an?2n?1. 因为当n=1时，a1?S1?1也满足上式，所以Sn?2an?2n?1(n?1)， 当n?2时,Sn?1?2an?1?2(n?1)?1, 两式相减得an?2an?2an?1?2, 所以an?2an?1?2(n?2)， 所以an?2?2(an?1?2)， 因为a1?2?3?0,所以数列{an?2}是以3为首项，公比为2的等比数列， 所以 an?2?3?2n?1, - 9 - 所以 an?3?2n?1?2. {xn}10.（2012·安徽高考理科·Ｔ21）数列满足： 2x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N*) （1）证明： {xn}是递减数列的充分必要条件是c?0. （2）求c的取值范围，使{xn}是递增数列. 【解题指南】（1）要证明充分性和必要性.（2）由（1）知需要讨论c?0，利用作差法求得c的范围. 【解析】（1）（充分性） 2xn?1??xn?xn?c?xn?c?0 当时，数列{xn}是单调递减数列 （必要性） 数列{xn}是单调递减数列?xn?xn+1??xn2?xn?c?c?xn2. 由此得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0. （2）由（1）知需要讨论Cc?0. ①当c?0时，xn?x1?0,不合题意; x2?c?x1,x3??c2?2c?x2?c?0?c?1c?0 ②当时，， 当x≥2时， 22xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?c， 22xn?2?xn?1??(xn?1?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1). 当 c?11xn?c??xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?14时，2与xn?1?xn同号， ， {xn}是递增数列. 当 c?14时，xn?c,且{xn}是递增数列，则存在N，使 xN?1?xN?xN?1?1?xN?2?xN?12与xN?1?xN异号， - 10 -