第七章 直线和圆的方程 - 11 -
学生甲：（Ⅱ）式是由（Ⅰ）式导出的，它们表示的直线范围不同。（Ⅰ）
式中只需x1?x2，它不能表示倾斜角为90?的直线的方程；（Ⅱ）式中
x1?x2且y1?y2，它不能表示倾斜角为0?和90?的直线的方程，但（Ⅱ）
式相对于（Ⅰ）更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆。 ②两点式公式运用时应注意什么？ 学生乙:应注意分类
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)
ⅰ)若x1?x2且y1?y2，则直线l的方程为
y?y1x?x1； ?y2?y1x2?x1 ⅱ)若x1?x2且y1?y2，则直线l的方程为x?x1； ⅲ)若x1?x2且y1?y2，则直线l的方程为y?y1。
③（Ⅱ）式变形为(y?y1)(x2?x1)?(x?x1)(y2?y1)可用于求过平面上 任意两点的直线方程吗？（可以） 3、直线方程的截距式
已知直线l与x轴交于（a,0），与y轴交于（0,b），其中a?0,b?0， 求直线l的方程。
解：因为直线l经过（a,0）、（0,b）两点，将这两点的坐标代入两点式 得到
y?0x?a? （Ⅲ） b?00?axy??1 （Ⅳ） ab 就是 指出：①（Ⅳ）这个方程形式对称、美观。其中a是直线与x轴交点的横 坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的
第七章 直线和圆的方程 - 12 -
纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距。
因为方程（Ⅳ）是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程（Ⅳ） 叫做直线方程的截距式 ．．．②截距式是两点式的特殊情况；
③a、b表示截距，即直线与坐标轴交点的横坐标、纵坐标，而不是距离；
④截距式不能表示过原点的直线以及与坐标轴垂直的直线； ．．．．．．．．．．．．．．．⑤用截距式画直线最方便，另外，求有关直线与坐标轴围成三角形 面积、周长等问题时，也经常使用截距式。（注意：用截距式方程解题时， 必须注意当直线的截距为零时是否符合题意，否则易遗漏a?b?0情形。 4、例题
例1、三角形的三个顶点是A(?5,0)，B(3,?3)，C(0,2)，求三角形三边
所在的直线方程。
分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在直线的方程应选用 两点式；求BC所在直线的方程应选用斜截式；求AC所在直线的
方程应选用截距式。
略解：AB： 3x?8y?15?0
BC： 5x?3y?6?0 AC： 2x?5y?10?0
例2、过点(4,?3)的直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求l的方程 解一：①当a?0,b?0时，设l的方程为 ∵点(4,?3)在直线l上 ∴
xy??1 ab43??1 ab 若a?b，代入上式得a?b?1，∴直线l的方程为x?y?1 若a??b，代入上式得a?7，b??7，∴直线l的方程为x?y?7 ②当a?b?0时，直线过原点且不与两坐标轴重合，又直线l过
第七章 直线和圆的方程 - 13 -
点(4,?3)，∴直线l的方程为3x?4y?0
综上直线l的方程为x?y?1，x?y?7或3x?4y?0
解二：设直线方程为y?3?k(x?4)，令x?0得y??4k?3，令y?0得
x?4k?34k?3。由题意得?4k?3?，即k(4k?3)??(4k?3)， kk3，故直线l的方程为x?y?7?0， 4 解之得k1?1，k2??1，k3?? x?y?1 或3x?4y?0。 5、练习：
①教材第41页 练习1、2
l
②直线l过(0,0)且平分平行四边形ABCD的面积。已知平行四边形两个 顶点是B(1,4)、D(5,0)，求直线l的方程。
③一直线l过P(?5,?4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线 的方程。
三、小结 1、填表：
方程名称 两点式 截距式 2、特例：
①倾斜角??0?时，直线l的方程为y?y1； ②倾斜角??90?时，直线l的方程为x?x1；
已知条件 直线方程 适用范围 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) y?y1x?x1 不能表示垂直于坐标轴?y2?y1x2?x1的直线 a，b xy??1 ab不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线 第七章 直线和圆的方程 - 14 -
③直线l过原点(0,0)且倾斜角??90?时，直线l的方程为y?kx 3、注意事项：
对于“截距相等”或“横截距是纵截距多少倍”等相关问题应分两类讨论： ①过原点(0,0)； ②不过原点(0,0)
四、作业：习题7.2 № 6、7、8、9、10
第五教时 直线的方程（3）
教材：7.2直线的方程
目的：1、了解平面直角坐标系中，直线与变量x、y的二元一次方程是一一
对应的为进一步学习“交点的线性规划”、“曲线何方程”打下基础；
2、掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式化为一般式，一般式化为 斜截式、截距式的互化方法；
3、在归纳直线方程各种形式的用途中，培养学生多向思维能力。 过程： 一、复习提问
请同学们回忆直线方程的几种形式与名称 点斜式： y?y1?k(x?x1) 斜截式： y?kx?b
两点式：
y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1xy??1 ab截距式：
设问：上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成如下的统一形式? ?x??y???0
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二、新课
1、直线与一元二次方程的关系
因为在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角?
①当??90?时，直线斜率存在，方程可写成y?kx?b，它可变形为 kx?y?b?0，与二元一次方程一般形式Ax?By?C?0比较，有A?k， B??1，C?b；
②当??90?时，直线斜率不存在，其方程可写成x?x1，比较有A?1， B?0，C??x1。 显然A、B不同时为0
所以，在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线
的关于x、y的二元一次方程。
反过来，任何关于x、y的一次方程都能表示一条直线吗？
二元一次方程的一般形式Ax?By?C?0 (?) 其中A、B不同时为0 ①当B?0时，方程(?)可化为y?? 上截距为?ACAx?，它表示斜率为?，在y轴 BBBC的直线；（斜截式方程） BC， A ②当B?0时，由于A、B不同时为0，必有A?0，方程(?)可化为x?? 它表示一条与y轴平行或重合的直线。
所以也有，在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一 条直线。
综上可知，在平面直角坐标系中，直线与x、y的二元一次方程是一一对应。 由此导出概念，方程Ax?By?C?0（其中A、B不同时为0）叫做直线方 ．．．
程的一般式 ．．．．．
2、例题：
例1、（教材第42页例4）