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???x??lim???x?x????x??limf?x???x??f?x?
?x?0?x?0?x即???x??f?x?，?x??a,b?。
由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。
?在区间?a,b?上的连续函数f?x?存在原函数，而积分上限函数??x?就是
f?x?的一个原函数。
xT定理2 、若f?x?是周期为T的连续函数，则H?x??F?x???f?t?dt?c是
T0周期为T的函数，其中F?x???f?t?dt，c为任意常数。
0xxTf?t?dt?c ?0Tx?TTf?t?dt?c ? H?x?T??F?x?T??T?0x?TTxT??f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt?c （1） a0T0证明：?H?x??F?x??又因为f?x?是周期为T的连续函数，所以有 ?且f?t?T??f?t?。 从而?x?Taa?Taf?t?dt??f?t?dt0Tf?t?dt??f?t?dt??0Ta?Tax?Tf?t?dt??x?Ta?Txf?t?dt??f?t?dt
0T ??a?Tf?t?dt??f?v?dv?F?x? （2）
a把（2）代入（1）得H?x?T??F?t??故H?x?是T为周期的函数，
xTf?t?dt?c?H?x? ?0T该定理告诉我们当f?x?是具有周期为T的连续函数，则F?x???f?t?dt可以表
ax示为一次函数
xTf?t?dt?c与周期为T的函数H?x?之和。 ?0T 6
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二、 积分上限函数的应用
2.1 积分上限函数在单调性的应用
xtf?t?dt?1、设f?x???0,???，并且x??0,???时，f?x??0。 证明：函数F?x???f?t?dt0x0在?0,???内为增函数.
证明：?当x?0时，分母
?f?t?dt?00x，所以F?x?在?0,???内有定义
??f?x??0,x?0??tf?t?dt?0由定理1.4得，当x?0时
0x?
dxdxtftdt?xfxf?t?dt?f?x?. ；??????00dxdx故F??x??xf?x??f?t?dt?f?x??tf?t?dt0xx??x0f?t?dt?02?f?x???x?t?f?t?dtx??0x0f?t?dt?2
?f?x??0,?t??0,x?，?x?t??0
? f?x???x?t?f?t?dt?0，即F??x??0
0x从而F2、 设
?x?在?0,???内为增函数。
x0 f?x?是???,???上连续奇函数且f?x?单调上升，F?x????x?3t?f?t?dt。
求证：（1）F （2）F?x?是奇函数；
?x?在???,???上单调减函数.
x?????x???0u0?x证明：对（1），?Ftf3t?dt??
?????x?3t?f??u?du
?? 故F?0?x?3u?f?u?du??F?x?
u?x?是奇函数。
x0（2） ?F??x???f?t?dt?2xf?x?
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8
?F???x??f?x??2f?x??2xf??x???f?x??2xf??x?
因为
f?x?在???,???上单调上升，所以f??x??0，又因为f?x?是奇函数，所以
f?x??0，对x?0时，有F???x???f?x??2xf??x??0
故函数F??x?在?0,???上单调减，又因为F??0??0。
?F??x??F??0??0
所以函数F?x?在?0,???上单调减函数。
2.2 证明方程根的应用
xx1、设
f?x?在?a,b?上连续，且f?x??0又F?x???f?t?dt??ab1dt 求证：f?t?F??x??0在?a,b?内有且仅有一个实根.
F（a）??证明：
abb1dt?0f(t)F(b)??f(t)dt?0a
∴f(x)?0在【a，b】内有根
'f2?x??112?又?F??x??f?x??而f?x??1?2f?x? f?x?f?x? ?F?故F?x??2 ?f?x??0?
?x?在?a,b?内单调增加，所以F?x??0在?a,b?内至多有一个实根。
adt?0bf(t)
bdt又F(a)???0af(t)F(x)??且F?x?在?a,b?上连续，故根据根的存在定理，在?a,b?内F?x??0至少有一个实根。
?F?x??0在?a,b?内有一个且仅有一个实根。
2、设
f?x?是?0,1?上的连续函数，且f?x??1，
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求证：方程2x??f?t?dt?1在?0,1?上有且仅有一个实根.
0x证明：令??x??2x??f?t?dt?1，由于f?x??1
0x所以???x??2?f?x??0而??0???1?0，由??x?的连续性可知，
?(1)?1??f(x)dx?
01??x??0在?0,1?上有且仅有一实根。 2.3 积分上限函数在证明不等式题中的应用
1、（不等式）若
f?x?和g?x??a,b?在
x上连续，则
??baf?x?g?x?dx?2??f2?x?dx?g2?x?dx.
aabb 证明：令F?x???a2f2?t?dt??ag?t?dt??af?t?g?t?dt2xaax?x?2，
则F'(x)?f(x) ? ?所以Fx?xag2(t)dt?g2(x)?f2(t)dt?2f(x)g(x)?f(t)g(t)dt
x2222?fxgt?2fxgx?ftgt?ftg???????????????x???a??dt
?xa??f?x?g?t??f?t?g?x???dt?0
2?x?在?a,b?上单调增加，从而F?b??F?a?=0
?
??baf?x?g?x?dx?2??f2?x?dx?g2?x?dx
aabb2、设
f?x?是?0,1?上的连续函数，并且严格单调减小，又设f?x??0，求证：对于任
???1
意的?,?,0?? ??f?x?dx???f?x?dx
00??1x证明：记??x???f?t?dt，因为f?x?单调减小，则
x01???x???2x?x011f?t?dt?f?x???2xx?x0f?t?dt?1xf?x? 2x 9
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1 ?2x所以??xf?x??xf?t?dt??1?0????x2x0?x0??f?x??f?t???dt?0 ，
?x?单调减小，又 ? ?f?t?dt?0,0?x?1，
?故
f?x?dx??f?x?dx， ???0011?即 ??f?x?dx???f?x?dx。
00??
2.4 积分上限函数在证明恒等式题中的应用
1、设函数
f?x?在
?a,b?上连续，在任意区间??,????a,b?，有不等式
M???1????试证：在
?f??x?dx (M,?为正常数)
?a,b?上，f?x??0.
?x???af?t?dt，由于f?x?在?a,b?上连续，所以g??x??f?x?，
x??xxx证明：令gx??a,b?对任意的x??a,b?，g?x??x??g?x???f?t?dt于是由
???f?t?dt?M???1??，有
g?x??x??g?x?1x??x??ftdt?M?x?0??x?0? ???x?x?x即g??x??0 ?x??a,b??，因此f?x??g??x??0
x?在x??a,b?上，f?x??0 。
2、设
f?x?在?a,???上的连续函数，且f?x??k?f?t?dt，x?0， 试证：
af?x??0 ?x?a?.
证明：?T?a，由已知条件，
x??a,T?f?x?在?a,T?上的连续函数，故?M?0， 满足：
maxf?x??M.
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