11
于是当x??a,T?，有f?x??kM?x?a?
把上式代入
f?x??k?xaf?t?dt，得
f?x??M2!k2?x?a?2. 反复以上作法得
f?x??Mn!kn?x?a?n，x??a,T?，n?1,2,? ?n由于?kn?x?a?kn?x?a?nn?0n!收敛，?limn??n!?0
因此
f?x??0 ?x??a,T??
再由T?a的任意性可知
f?x??0 ?x?a?.
2.5在求导中的应用
1、设 x=?t0sinudu
y=
?t0cosudu ，求Y对X的导数dy/dx.
解：
由上线函数的性质得：
tdy/dt=
d?0cosududt=cost
dx/dt=
d?t0sinududt=sint
有参数方程求导法则得： dy/dx=
dydxdt/dt=
costsint=cott 2、求由?yxdy0etdt??0costdt?0所确定的隐函数y对x的导数dx. 解：
?ytx0edt??0costdt?0两边对x求导。 d?y0etdtd?xdy0costdtdt?dx?dx?0 得：ey?dydx?cosx?0
11
12
则
dy??e?ycosx dx2 3、设x?y??y?x02,求costdtdy. dxdy解：两边对x求导得：
2 1 ?右边先对y-x求导 ?2y?cos(y?x)(?1)dydxdx 则：dy1?cox2(y?x)dx=cos2(y?x)?2y f(x)?x4、设?1cos2tdtx （x>0）,求f'(x) 1 解：f(x)=
?xcos2tdt??x200costdt f'(x)=d?x10cos2tdtd?xcos20tdtdx?dx d1 =cos2x?dx21()dx?cosx?xdx =
12xcos2x?121x2cosx 5、设F(x)??x(sint5dtdt)dy，求F\(x). 解：设f(y)??y2sintx8tdt，则F(x)??5f(y)dy x则F'(x)?d?5f(y)dyx2sintdx?f(x)??8tdt
2dtF\(x)=
?xsin8tdtdx?sinx22x2?(x)'
2sinx2 x
2.6在极值中的应用
1、当x为何值时，f(x)??x?t20tedt有极值？
?积分区间可加性 12
13
d?x 解：f'(x)?0te?tdt?x2dx?xe 令f'(x)?0得的驻点x=0 当x<0时，f'(x)?0 当x>0时，f'(x)?0
所以，函数当且仅当x=0时，有极小值f(0)?0
?x20etdt2、求limx?x?0x2sin2x
解：由洛必达法则及无穷小得替代法则得：
?limx??x20edtx?02x31?ex2
?lixm?06x2?lim?2xex2x?012x??16
3、设f\(x)连续，当x?0时，
F(x)??x(x2?t20)f\(t)dt的导数与x2为的等价无穷小，求f\(0).
解：F(x)?x2?x2x0tf\(t)dt??0t2f\(t)dt ?积分的线性运算
F'(x)?2xx0f\(t)dt?x2f\(x)?x2f\(x)
?2x?x0f\?t?dt
由题意：
xlimF'(x)2?0f\?t?dtx?0x2?limx?0x
?lim2xf\(?)x?0x?2lim??0f\(?) ?积分中值定理 ?2f\(0)
13
14
?1 (0???x或x???0) 故f\(0)?1 22.7在求原函数中的应用
xx设f（x）可微，且满足x??0f(t)dt??0tf(x?t)dt，求函数f(x)
解：u?x?tt?x?u
t 0 x u x 0 ?x00tf(x?t)dt??x(x?u)f(u)d(x?u)
???0x(x?u)f(u)d(x?u) ??[?0xf(u)du??0xxuf(u)du
??0uf(u)du??0xxxf(u)du
x??x000f(t)dt??xf(u)du??xxf(u)du
两边关于x求导：
1?f(x)?xf(x)?[?x0f(u)du?xf(x)]
通过二阶微分方程，通过计算得：
f(x)?cosx?sinx
2.8求解函数方程
1、已知f(x)??xlnt11?tdt，求f(x)?f(1x) 解：f(11lnx)??xt11?tdt令： 14
15
t?1u,dt??1u2du,则f(1xln1ux)??1(?1)du 1?1u2u??xlnu1u(1?u)du??xlnt1t(1?t)dt
则f(x)?f(1x)??xlntxlntdt11?tdt??1t?1?t?
??xlnt1tdt ??x1lntdlnt
?12(lnt)2x1?12ln2x
2.9证明积分中值定理
1、设f(x)在?a,b?连续，且f(x)?0。证明：在(a,b)内至少存在一点?，使得??af(x)dx??bf(x)dx?12?b?af(x)dx 证明：设F(x)??xaf(t)dt,x??a,b?
F(x)在?a,b?上可导，且F'(x)?f(x)?0,从而F(x)在?a,b?上单调增
最大值，最小值分别为
M?F(b)??baf(x)dx?0,
m?F(a)?0而0?12?baf(x)dx?M
15