数字信号处理-信号时频分析讲义
从Fourier分析到小波分析
1 Fourier分析
所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。
对一个给定的信号或过程，如x(t)，我们可以用众多的方法来描述它，
?(?)，再如x(t)的函数表达式，通过Fourier变换所得到的x(t)的频谱，即x如x(t)的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier变换和反Fourier变换作为
?(?)之间的一对一映射关系，从时域到频域桥梁建立了信号x(t)与其频谱x的映射关系为Fourier变换：
x(?)??x(t)e?j?tdt (1-1)
???反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier变换：
x(t)?12?????x(?)ej?td? (1-2)
Fourier变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。
Fourier变换和反Fourier变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时
?(?)的任一频点值都是由时间过程x(t)在整个时域域表示。也就是说频谱x(-?,?)上的贡献所决定；反之，过程x(t)在某一时刻的状态也是由其频谱
?(?)在整个频域(-?,?)上的贡献所决定。也就是说，x(t)在任何时刻的微x? 19 ?
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小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程x(t)。因此，Fourier变换建立的只是一个域到另一个域的
?(?)只是显示了信号x(t)桥梁，并没有把时域和频域组合在一起，所以频谱x中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关系。
t / s t / s
(a) x1(t) (b) x2(t)
图2.1 信号x1(t)和x2(t)
图2.1中的两个信号x1(t)、x2(t)可很好地说明Fourier变换的局限性，
x1(t)?sin(6?t)?sin(12?t)?sin(18?t) 0≤t≤4s (1-3) ?2sin(6?t)?sin(12?t) 0?t?2 s x2(t)?? (1-4)
sin(12?t)?2sin(18?t) 2?t?4 s?它们的时域表示如下：
这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的，
在x1(t)中，三种分量一直存在；而在x2(t)中，只有一个分量一直存在，另两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。
f / Hz f / Hz ?1(?)|2 (b)|x(a)|x?2(?)|2
图2.2 信号x1(t)和x2(t)的频谱
?1(?)|2、|x?2(?)|2，显然这两个不同的信号图2.2是这两个信号的频谱|x有相同的频谱，这说明Fourier分析不能将这两个信号区分开。
? 20 ?
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2 短时Fourier分析
2.1 基本定义
为了克服Fourier变换不能同时进行时间——频率局域性分析的缺点，
因发明全息照相技术而获诺贝尔奖的Gabor于1946年提出了短时Fourier变换(STFT)。短时Fourier变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier变换，定义如下：
STFTx(?,?)??x(t)g(t??)e?j?tdt (2-6)
???式中g(t)是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。随着?的不断变化，由g所确定的窗口在时间轴上移动，使分析信号x(t)逐步进入被分析的状态，因此该变换反映了信号x(t)在时刻为?、频率为?的分量的相对含量。
Gabor采用Gauss函数ga(t)(式2-7)作为分析窗函数，因此用Gauss函数作为窗函数的短时Fourier变换也称Gabor变换Gx(?,?)。Gauss函数是
?a(?)(式2.2-8)，从而保证了紧支的，它的Fourier变换也是Gauss函数gGabor变换在时域和频域都具有局域化功能。 21ga(t)?e?t/4a (2-7)
2?a2?a(?)?e?a? (2-8) gt / s rad/s
?a(?) (a)ga(t) (b)g?a(?) 图2.3 Gauss函数ga(t)及其Fourier变换g 可以证明，对于Gabor变换，式2-9是成立的
?????(?) (2-9) Gx(?,?)d??x? 21 ?
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这说明信号x(t)的Gabor变换按窗口宽度精确地分解了x(t)的频谱
?(?)，提取了它的局部频谱信息，当?在整个时间轴上平移时，就给出了x(t)x的完整的Fourier变换，因此没有损失x(t)在频域上的任何信息。
短时Fourier变换是能量守恒变换，对于任何窗函数下式都成立
??换公式如下
??|x(t)|2dt????12?2|STFT(?,?)|d?d? (2-10) x????????在归一化条件下，即
?|x(t)|2dt＝1，短时Fourier变换是可逆的，其逆变
??1x(t)?2?
j?tSTFT(?,?)g(t??)ed?d? (2-11) x??????这里用短时Fourier变换对上节中的信号x1(t)和x2(t)进行了分析，图2.4
和图2.5给出了变换结果和相应的3D显示效果。
12 f / Hz 6 t / s
0
图2.4 信号x1(t)的Gabor变换(窗口长度为1/8的信号长度)
40 f / Hz 20 0 t / s
图2.5 信号x2(t)的Gabor变换(窗口长度为1/8的信号长度)
通过图2.4和图2.5可以很容易地辨识出信号x1(t)和x2(t)，它们各个频率分量的持续时间也可轻易地知道，如对x1(t)，它的三个频率成份就一直
? 22 ?
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存在，而x2(t)中，只有一个频率成份一直存在，而其它两个频率成份只是占据了信号整个过程的前一半和后一半。
2.2.2 短时Fourier变换的时频分辨率
短时Fourier变换是一种时频变换，从上面的例子可以看出，它可以方
便地分析非平稳信号，现在很自然会产生这么一个问题，是不是窗口越小越好呢？先看两个极端的例子。当窗口函数选择为?(?)时，这时
STFTx(?,?)?x(?)e?j?? (2-12)
信号的STFT变成了信号x(t)，它保持了信号的所有时间特征，有完美的时域分辨率，却无任何频域分辨率。另外，当取无限宽的窗函数时，即g(t)=1时，此时的短时Fourier变换退化成一般的Fourier变换，这时
?(?) (2-13) STFTx(?,?)?x?(?)，它有极好的频率分辨率，但没有任何时间信号的STFT变成了信号x分辨率。为了分析Fourier变换的时频局部化特性，引入相空间的概念。
所谓一个相空间是指以“时间”为横坐标，以“频率”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口。相空间的作用是用来刻画一定的物理状态，因此它具有很强的工程背景。
从数学上来说，如果函数g(t)?L2(R)，且tg(t)?L2(R)，则g(t)被称为窗口函数，相空间的点(t0,?0)
?1?2t?t|g(t)|dt2????0g(t)?? (2-14) ?12? ?0??(?)|d??|g2?????(?)g??(?)为窗函数g(t)的Fourier变换(下同)。被称为窗函数g(t)的中心。式中，g定义：
1/2????22??g??1(t?t0)g(t)dt?2????g(t)??????1/2
?1???22????(?)|d??(???0)|g??g2????g????(?)?? (2-15)
? 23 ?