数字信号处理-信号时频分析讲义
给出
1x(t)?C?????????a?2Wx(a,b;?)?a,b(t)dadb (3-26)
利用Parseval公式和Fourier变换的相似性，很容易证明上述逆变换公式。这说明信号x(t)的小波变换并没有损失任何信息，变换是守恒的，因而下式成立
1|x(t)|dt????C??22ada|W(a,b;?)|db (3-27) ??????x??2?2.3 小波变换的分辨率
我们同样可以通过相空间来分析小波变换的分辨率，定义相空间的点
00(t?,??a,b)为小波函数?a,b(t)的中心。 ?a,b?2?t|?(t)|dta,b?t0???????a,b2|?(t)|dta,b?????? (3-28) 2??|?a,b(?)|d??0?0???a,b??2??|?(?)|d?a,b?0?定义
1/2??022????a,b???(t?t?a,b)|?a,b(t)|dt????????1/2 (3-29) ?022??????a,b???(????a,b)|??a,b(?)|d????????为小波函数?a,b(t)的时宽和频宽。不难证明下面各式成立
00t??at?1,0?b (3-30) a,b0??a,b???a,b10??1,0 (3-31) a?a??1,0 (3-32)
1?1,0 (3-33) ??a?a,b???由(3-32)和(3-33)还可推出
?a,b???1,0???1,0?常数 (3-34) ??a,b??? 29 ?
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0?a,b(?)具有带通特性，而??对小波函数?a,b(t)而言，它的频谱??a,b就是它
?a,b。由上述公式可看出，随着a的增大，的通频带中心，带宽BW则为2??0??减小，这表明带通的中心向低频分量偏移，这时小波变换分析的是信?a,b?a,b相应减小，??a,b相应增大，因此在低频段，号的低频分量，而此时??小波变换可达到较高的频率分辨率和较低的时域分辨率，反之亦然。这正是我们所需要的图2.8所示的自适应窗的特点。另外，由式(3-34)可知，在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度(确定了时域分辨率)和高度(确定了频域分辨率)在各处不一样，但它的面积是一常数，这也正是Heisenberg测不准原理在小波变换中的体现。再看看反映小波函数滤波特性的品质因子Q，由(2.3-31)和(2.3-33)还可推出
00????中心频率a,b1,0Q?＝??常数 (3-35)
?a,b2???1,0带宽2??Q为常数说明小波变换相当于一个恒Q的带通滤波器，可用图2.10来表示小波变换的滤波特性。与此相对应，短时Fourier变换的滤波特性可用2.11来表示。
ω
0
ω
2
ω
4
ω
8
ω
图2.10 小波变换的滤波特性
ω
0
ω
1
ω
2
ω
3
ω
4
ω
5
ω
6
ω
7
ω
8
ω
图2.11 短时Fourier变换的滤波特性
图2.12则给出了小波变换的相空间表示。
? 30 ?
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图2.12 小波变换的相空间表示
这里用小波变换对上节中的信号x1(t)和x2(t)进行了分析，如图2.13所示的变换结果。
t / s t / s
图2.13 信号x1(t)和x2(t)的小波变换(Morlet小波 ?0?6) 为了对比，这里进行了尺度和中心频率之间的转换(以后的所有有关小波变换的图如未经标注，都默认经过此转换)，对于任一小波，它的频谱都具有带通性质，因此这样的变换是可行的，变换公式为
0???a,b0????1,0/a (3-35)
可以看出，小波变换和短时Fourier变换的结果非常相似，但不同的是，小波变换对高频分量的频域分辨率没有在低频的高，很明显频率越高的分量在小波变换图上对应着越宽的频带。另外，从信号x2(t)的小波变换也可看出，小波变换对低频分量的时域分辨率没有对高频分量的高，很明显，本应只是占据0～2s的那个分量在小波变换图上直到近3s处还出现，而占据2～4s的分量在小波变换图上只是延伸到了将近1.8s处。
值得注意的是小波变换存在边界扭曲现象，上面的小波变换虽然采取
? 31 ?
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了一些措施（对信号两端进行了对称拓展），但图中还是可以看出明显的不光滑的边缘效应。之所以发生边界扭曲，是因为进行小波变换需要作卷积，而通常对有限长度的信号进行卷积时，都会产生边界扭曲。这种边界扭曲带来的误差是与实际的信号有关的。一般信号处理都是对实际信号加矩形窗进行截断，所以在卷积时矩形窗外的部分没有值(一般取零值卷积)，这与实际情况不符合，因此就带来了误差。为了解决边界扭曲问题，在进行小波变换之前，需要将信号扩展。对于不同的信号，可能会用到不同的方法来解决边界问题。
2.3.3 确定最大和最小尺度参数
用连续小波变换分析信号x(t)时，取小的尺度参数时分析的是高频率成份，但为了分析更高的频率，尺度参数a的取值是否要取得非常小呢？相应地，是否可用非常大的尺度参数来分析信号中的超低频率成份呢？事实上尺度参数的选择范围不是任意的，为了节约计算量，也为了消除小波变换结果中的无用信息，尺度参数的选择应该遵守一些原则。
以Morlet小波为例，它的频谱具有带通特性，当尺度参数为a时，它的中心频率为?a??0/a，通过公式(2.3-23)不难得出它的半功率带宽为
2ln2 (3-36) BWa?a因此，在尺度a下，小波函数频带的上下截止频率分别为
ln2 (3-37) ?H??0/a?aln2 (3-38) ?L??0/a?a如果信号的采样间隔是Ts，则它的采用频率为fs=1/ Ts，根据Shannon采样定理，采样频率fs必须高于信号x(t)的最高频率的两倍，因此
2?ln22?fs?≥2?H?2(?0/a?) (3-39)
Tsa即
(??ln2)Ts (3-40) a≥0?这就确定了尺度参数的最小取值amin，计算比amin还小的尺度参数下的小波
? 32 ?
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变换将没有任何意义。在实际计算中也可以根据信号的截止频率fc(2fc≤fs)来确定最小尺度参数amin，这时
amin??0?ln2 (3-41) 2?fc
最大的尺度参数可以通过小波函数?a,b(t)的时宽来确定，为了保证小波
变换具有一定的时域分辨率，考虑到|?a,b(t)|的幅值在3??a,b之处将降到本身的99.9%，因此一般要求
3??a,b≤信号长度/2
对Morlet小波来说，就是
a≤信号长度/6 (3-42)
这就确定了尺度参数的最大取值amax。
从上面的分析可知，信号的采样频率或截止频率决定了最小尺度参数
amin，即最大分析频率；而信号的采样长度决定了最大尺度参数amax，即
最小分析频率；采样频率和采样长度不会影响小波变换的分辨率，小波变换的频域分辨率和时域分辨率只和所选择的小波函数及尺度参数有关。
4 各种变换之间的比较[12]
下面用表格的形式给出Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换之
间的比较。
表2.1 Fourier变换
变换类型 分析函数 变量 提供的信息 适用场合 备注
频率
三角函数（是时域支撑区无限的振荡函数）
频率
信号包含的频率成份
平稳信号（其频率成份不随时间变化）
FFT的计算量为nlogn
? 33 ?