数字信号处理-信号时频分析讲义
为窗函数g(t)的时宽和频宽。相空间中以(t0,?0)为中心，以长为2?g，宽
?的平行于坐标轴的矩形称为由g(t)所确定的时频窗口。若?g越小，为2?g则说明g(t)在时域上的局部化程度越高，当用这么一个窗进行短时Fourier
?越小，则说明g(t)在频域变换时，将取得较好的时域分辨率；同样，若?g上的局部化程度越高，用于短时Fourier变换时，将取得较好的频域分辨率。可以证明
?≥1/2 (2-16) ?g?g?之间这就是Heisenberg测不准原理在时频变换中的表现，它表明?g和?g存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。当且仅当g(t)取Gauss函数时，式(2.2-16)中等号才成立。从物理的直观意义上讲，信号的频率必须至少在一个周期内(?t≥1/?0)进行测量，精确测量并认定某一时刻的频率是多少是没有意义的。
图2.6 短时Fourier变换的相空间表示
图2.6给出了短时Fourier变换的相空间表示。很明显窗口函数g(t)一
?也随之确定。旦选定，?g和?g因此，对于任意给定的t0和?0，短时Fourier
?)]来表示，变换的时频分辨率可由尺度固定的分辨基元[(to??g)?(?0??g也就是说，短时Fourier变换在相空间中任何一点(x0,?0)给出的关于信号
?这两个不确定量限定的。 x(t)的信息，都是由?g和?g由于短时Fourier变换的时频窗口有相同的时宽和频宽，也就是窗口的大小形状是固定不变的，它在时域和频域的分辨率是固定不变的，即在高频段和低频段有同样的分辨率，这在图2.4和图2.5上有很好的表现，可看出信号中的三个不同的频率成份在图上表现出了同样的带宽。为了更好
?之间的相互制约性，这里用不同宽度的窗函数对前面的信地说明?g和?g号x1和信号x2进行了分析，如图2.7所示。
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12 40 f / Hz f / Hz 6 20 0 0 t / s t / s
图2.7 信号x1(t)和x2(t)的Gabor变换(窗口长度为1/4的信号长度)
和图2.4和图2.5相比，那里的窗口宽度为1/8的信号长度，而现在的
窗口用的是1/4的信号长度。可明显看出，图2.7中的频率分辨率提高了，每个频率分量都在上面表现为比图2.4和图2.5中更窄的带。而它在时域的分辨精度下降了，这通过信号x2(t)的分析可看出。在图2.5中，两个各占信号过程一半的分量基本上以2s点为分界，而在图2.7中，这两个分量在时间轴上却出现了交叠。
通过上面的分析可知，当用短时Fourier变换分析信号时，如果想对高频分量分析取得很好的时域分辨率，就必须选择宽带的短时窗；如果想对低频分量分析取得很好的频域分辨率，就必须选择窄带的宽时窗，但无法同时达到这两个目的。而实际的信号过程是很复杂的，无论是单一的还是多分量的信号，为了提取高频分量或速变成份的信息，时域窗口?g应尽量
?适当放宽，因为更高频率分量即使有较大的绝对窄，而同时容许频域窗?g频率误差，仍可以使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号或低频成份，
?就应当尽量缩小，保证有较高的频率分辨率，以保证频率的相频域窗口?g对误差满足提取信息的基本需要。简而言之，实际的信号的分析需要时频
?的大小，高频时窗口具有自适应性，它可按上面的情形自动改变?g和?g频窗宽，时窗窄；低频时则频窗窄，时窗宽。这么一个自适应窗口的相空间特性可用图2.8表示。
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频率 时间
图2.8 自适应窗的相空间表示
短时Fourier变换还有一个缺点就是它的离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这也大大限制了其应用范围。
3 连续小波变换
从Fourier变换到短时Fourier变换再到对自适应窗口的需求反映了信
号分析处理过程中一个共同的基本要求，这就是具有自适应窗口特性和平移功能，为了实现高效算法，要求对信号x(t)进行变换处理的积分核应具有正交基。归结起来，变窗口、平移和正交性是作为信号分析最有效的数学工具的主要条件。小波变换(Wavelet Transform)正是为了满足这个需求而发展起来的。
3.1基本定义
设x(t)是一有限能量函数，即x(t)?L2(R)，则该函数的小波变换定义为以函数族?a,b(t)为积分核的积分变换，如下式所示
?Wx(a,b;?)??x(t)?a,b(t)dt a>0 (3-17)
??函数族?a,b(t)由基本小波函数?(t)通过伸缩和平移产生，如下所示
?a,b(t)?a?1/2?(t?b) (3-18) a式中a是尺度参数，b是定位参数，a?1/2因子是归一化常数，用来保证变
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换的能量守恒，即
||?a,b(t)||??|?a,b(t)|dt??|?(t)|2dt (3-19)
????2?2?小波函数的频域表示如下
?a,b(?)?ae?j???(a?) (3-20) ?
可以看出，当a减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大，且?a,b(t)的窗口中心向|?|增大方向移动；当a增大时，小波函数的频宽减小，时宽增大，且
?a,b(t)的窗口中心向|?|减小方向移动。这说明连续小波变换的局部化是变化的，在高频处时域分辨率高，频域分辨率低；而在低频处时域分辨率低，频域分辨率高，即具有“变焦”的性质，这也正是我们追求的自适应窗的性质。下面以常用的Morlet小波函数来说明。
rad/s rad/s rad/s
a = 0.5 a = 1 a = 2
图2.9 不同尺度下的Morlet小波函数及其频谱(?0?5)
Morlet小波是最常用的复值小波，由下式给出
?(t)??其Fourier变换为
?1/4(e?j?0t?e2??0/2)e?t2/2 (3-21)
?(?)???当?0≥5时，e2??0?1/4[e?(???0)2/2?e02??0/2e??2/2] (3-22)
?0，则Morlet小波函数可简化如下
?(t)???1/4e?j?te?t? 27 ?
2/2 (3-22)
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其Fourier变换相应地变为
?(?)???
?1/4?(???0)2/2e (3-23)
图2.9 给出了不同尺度参数a下的Morlet小波函数及其频谱，可以看
出，当a增大时，小波函数被延展，对应的Fourier变换缩小，频域窗口中心减小，反之亦然。另外，可以看出Morlet小波函数的频谱具有带通的特征，事实上，所有满足下面条件的小波函数的频谱都具有这样的性质。
小波?(t)的选择不是唯一的，很多函数可用来作为小波基函数，但也不是任意的，它的选择应该满足以下条件：
1. 定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，它保证了函数的速降特性，以便获得时域局域化。 2. 平均值为零，也就是
??(t)dt?0，甚至?(t)的高阶矩也应该为零，即 ?t?(t)dt?0 k = 0,1,…N-1 (3-24)
???k??? 我们称满足这项要求的小波函数具有k阶消失矩，它可以消除信号x(t)
的多项式展开中tk(k 均值为零的条件也称小波容许条件，即 ?(?)|2|?C???d??? (3-25) ??|?|??(?)???(t)e?j?tdt，这个条件使函数?(t)的波形必定具有振荡性，并式????且随着k的增大，?(t)的振荡性会越来越强。 从小波变换的定义可看出，小波变换是一线性变换，它的物理图案就是用一族频率不同的振荡函数作为窗口函数?a,b(t)对信号x(t)进行扫描和平移，其中a为改变振荡频率的伸缩参数，b为平移参数。这时小波变换在某种意义上类似于短时Fourier变换，但不同的是，小波变换的时域和频域分辨率与频率有关。在高频段，小波变换能达到高时域分辨率，而频域分辨率比较差，对低频段则刚好相反。而短时Fourier变换在所有频段的时域和频域分辨率都是不变的。 对于所有的x(t)，?(t)?L2(R)，x(t)的连续小波变换的逆变换可由下式 ? 28 ?