第四节 基本不等式
1．基本不等式
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用
会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．
知识点 基本不等式 a＋b
1．基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．
a＋b
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．
22．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．
那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．
S2
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
4
易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
必记结论 活用几个重要的不等式： (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba
(2)＋≥2(a，b同号)． ab(3)ab≤?
a＋b?2
?2?(a，b∈R)．
2
2
a＋b?2a＋b(4)??2?≤2(a，b∈R)． (5)
a2＋b2a＋b2
≥≥ab≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 2211
＋ab
[自测练习]
1．下列不等式中正确的是( )
A．若a∈R，则a2＋9>6a a＋b
B．若a，b∈R，则≥2
ab
a＋b
C．若a，b>0，则2lg≥lg a＋lg b
21
D．若x∈R，则x2＋2>1 x＋1a＋b
解析：∵a>0，b>0，∴≥ab.
2a＋b∴2lg≥2lg ab＝lg (ab)＝lg a＋lg B.
2答案：C
1
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
xA．最大值为0 C．最大值为－4
B．最小值为0 D．最小值为－4
1
?－x?·－2＝－4，
?－x?
1?1??－x?＋解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－?－x??－2≤－2x?1
当且仅当－x＝－，即x＝－1时等号成立．
x
答案：C
3．下列函数中，最小值为4的是( ) 4
A．y＝x＋ xB．y＝sin x＋
4
(0 C．y＝ex＋4ex － D．y＝x2＋1＋ 2 x2＋1 4 解析：∵y＝x＋中x可取负值， x∴其最小值不可能为4； 由于0 ∴y＝sin x＋>2sin x 4sin x·＝4， sin x 其最小值大于4；由于ex>0， ∴y＝ex＋4ex≥2ex·4ex＝4， － － 当且仅当ex＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x2＋1≥1， ∴y＝x2＋1＋答案：C 2 ≥22，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. x2＋1 4 4．已知x>1，则x＋的最小值为________． x－1解析：∵x>1，∴x－1>0， 44 ∴x＋＝(x－1)＋＋1≥4＋1＝5， x－1x－14当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立． x－1答案：5 考点一 利用基本不等式证明简单不等式| (1)已知a>0，b>0，a＋b＝1， 11 1＋??1＋?≥9. 求证：??a??b?11 (2)设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22. ab[证明] (1)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b1b1a ∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. aaabb 11bababa11＋??1＋?＝?2＋??2＋?＝5＋2?＋?≥5＋4＝9.当且仅当＝，∴?即a＝b＝时取?a??b??a??b??ab?ab2“＝”． 111 1＋??1＋?≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立． ∴??a??b?2 11a＋b11112 1＋??1＋?＝1＋＋＋＝1＋法二：?＋＝1＋，∵a，b为正数，a＋b＝1， ?a??b?ababababab∴ab≤? a＋b?211 ＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”． 2?2?4 121 于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”． abab211 1＋??1＋?≥1＋8＝9， ∴??a??b? 1 当且仅当a＝b＝时等号成立． 2(2)由于a，b均为正实数， 11所以2＋2≥2 ab112·＝， a2b2ab 11 当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立， ab2 又因为＋ab≥2 ab 2·ab＝22， ab 2 当且仅当＝ab时等号成立， ab112 所以2＋2＋ab≥＋ab≥22， abab ?当且仅当?2 ?ab＝ab， 11＝，a2b2 4 即a＝b＝2时取等号． 考点二 利用基本不等式求最值| 11 (1)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( ) x3yA．2 C．22 B．23 D．4 (2)(2015·高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________． [解析] (1)由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，2x×23y＝2x ＋3y 11?11 ＋×(x＝2，即x＋3y＝1，＋＝?x3y?x3y?3yx ＋3y)＝2＋＋≥2＋2x3y3yx×＝4，当且仅当x＋3y＝1，x3y ?????x>0，y>0， 3yx ＝，x3y 即最小值为4.故选D. ?a＋1?2＋?b＋3?2 (2)(a＋1＋b＋3)＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋2·＝9＋a＋b 2 2 73 ＋4＝18，所以a＋1＋b＋3≤32，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝，b＝时22等号成立．所以a＋1＋b＋3的最大值为32. [答案] (1)D (2)32 21 1．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范 xy围是( ) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 21?4yx4yx ＋＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成解析：x＋2y＝(x＋2y)??xy?xyxy立．由x＋2y>m2＋2m恒成立，可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－4 答案：D xy11 2．(2016·洛阳统考)若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋zx2y1 －的最大值为( ) z A．2 C．1 3B. 21D. 2 xyxy1 解析：∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，∴＝2＝≤1(当2zx＋4y－3xyx4y ＋－3yx11111111111 且仅当x＝2y时等号成立)，此时＋－＝－2，令＝t>0，则＋－＝t－t2≤(当且 x2yzy2yyx2yz22仅当t＝1时等号成立)．故选D. 答案：D 考点三 基本不等式的实际应用| 某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年 的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)． (1)用x表示y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备． [解] (1)由题意得， 100＋0.5x＋?2＋4＋6＋…＋2x? y＝， x100 即y＝x＋＋1.5(x∈N*)． x(2)由基本不等式得：