100
y＝x＋＋1.5≥2
x100x·＋1.5＝21.5， x
100
当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
x
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC将△ABC翻折，使点B落到点B′的位置，AB′交DC于点P.研究发现当△ADP的面积最大时最节能，则最节能时△ADP的面积为( )
A．22－2 C．2－2
B．3－22 D．2
解析：设AB＝x，DP＝y，则BC＝2－x，PC＝x－y.因为x>2－x，故1 1－?(2－x)＝3－?x＋?≤3－22，当且仅当x＝，即1 11.忽视等号成立条件致误 12 【典例】 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________． xy3 (2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． x[解析] (1)∵x>0，y>0， 12?y2x ＋＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号) ∴x＋y＝(x＋y)??xy?xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33 －?≥1＋2(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋??x?xx＝－ 6 时取等号，故y的最小值为1＋26. 2 3 ?－2x?·＝1＋26，当且仅当 －x [答案] (1)3＋22 (2)1＋26 12 [易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝＋≥2 xy∴xy≥22，∴x＋y≥2xy≥42，得(x＋y)min＝42. 3 (2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥26. x 2， xy [防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． [跟踪练习] 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 解析：∵12＝4x＋3y≥24x×3y， ??4x＝3y，∴xy≤3.当且仅当? ?4x＋3y＝12，? 3??x＝2，即?时xy取得最大值3. ??y＝2答案：3 a＋b1．“a≥0，b≥0”是“≥ab”的( ) 2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 a＋ba＋b 解析：由a≥0，b≥0可得≥ab，当且仅当a＝b时取等号．反之，若≥ab， 22则ab≥0，可得a≥0，b≥0，故选C. 答案：C 11 2．(2016·杭州一模)设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是( ) abA．2 C．4 1B. 4D．8 baba ×＝4.当且仅当＝，即a＝babab 11a＋ba＋bba 解析：由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ababab1 ＝时取等号，所以最小值为4. 2 答案：C 41 3．若a>0，b>0且a＋b＝7，则＋的最小值为( ) ab＋28A. 99C. 8 B．1 102D. 77 41411 解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝7－a，所以＋＝＋＝(a ab＋2a9－a94?9－a?a?14?9－a?a?4＋1?＝1?4＋1＋＋＋9－a)·≥(4＋1＋4)＝1，当且仅当＝时取??aa9－a?9?a9－a?9?9－a得等号，故选B. 答案：B 21 4．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则＋的最大值为( ) xyA．1 C．3 B．2 D．4 1121 解析：由ax＝by＝2得x＝loga 2＝，y＝logb 2＝，＋＝2log2 a＋log2 b＝log2 log2 alog2 bxya＋b?2 (a·b)≤log2?＝2(当且仅当a2＝b＝2时取等号)． ?2? 2 2 答案：B 12 5．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(0 ab最小值为( ) A.2＋1 C．3＋22 B．42 D．6 解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y＝1＋sin πx(0 ＋·中心是点(1,1)，于是有a＋b＝1，＋＝?(a＋b)＝3＋＋≥3＋22，当且仅当＝， ab?ab?abab12 即b＝2a＝2(2－1)时取等号，因此＋的最小值是3＋22，故选C. ab 答案：C 6．(2016·济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x1＋2y1，则t＝2x＋2y的取值范围是 ＋ ＋ ________． 解析：设a＝2x，b＝2y，则a>0，b>0，由条件得a2＋b2＝2(a＋b)，∵(a＋b)2＝a2＋b2 ＋2ab≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时取等号，∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0.∴a＋b>2，∴2 答案：(2,4] 17．(2015·郑州二模)已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为 ab________． 解析：由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正数，故2ab≤? 2a＋b??2? 2 11 ＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为. ab2 1 答案： 2 xy 8．已知函数y＝loga x＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝ mn 0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为________． xy 解析：由题意可知函数y＝loga x＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线＋－4＝0 mn11?1?nm1111 ＋＝2＋＋?≥?2＋2上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)??mn?4?mn?4?mn41 1，当且仅当m＝n＝时等号成立，∴m＋n的最小值为1. 2 答案：1 1??1??1? 9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：??x－1??y－1??z－1?>8. 1－xy＋z2yz1 证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>， xxxx① 1－yx＋z2xz1 －1＝＝>，② yyyy1－zx＋y2xy1 －1＝＝>，③ zzzz 1??1??1?又x，y，z为正数，由①×②×③，得??x－1??y－1??z－1?>8. 10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比的解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 2010解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝. x2010 则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160 x5??2x＋＝8010＋4 160(x>1)． x?? |A1B1| ＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)|B1C1| nm?·＝mn? (2)8010?2x＋ ? 5? ＋4 160≥8010×2x? 2x× 5 ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当x 且仅当2x＝ 5 ，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100. x 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． B组 高考题型专练 12 1．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( ) abA.2 C．22 B．2 D．4 12b＋2a 解析：由已知得＋＝＝ab，且a>0，b>0， abab∴abab＝b＋2a≥22ab，∴ab≥22. 答案：C 2．若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 C．6＋43 B．7＋23 D．7＋43 113 解析：由log4(3a＋4b)＝log2ab，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋ 22b4 ＝1. a 34?3a4b3a4b ＋＝＋＋7≥43＋7，当且仅当＝，即a＝23＋4，b所以a＋b＝(a＋b)??ba?baba＝3＋23时取等号，故选D. 答案：D 3．设f(x)＝ln x,0 A．q＝r p B．p＝r a＋b?1 ，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正 2?2?a＋ba＋b?解析：∵0ab，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故f(ab) 即q>p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ab＝f(ab)＝p，∴p＝r 22 x2－y2 答案：定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x?y＋(2y)?x的 xy最小值为________． x2－y24y2－x2x2＋2y21?x2y?解析：因为x>0，y>0，所以x?y＋(2y)?x＝＋＝＝?y＋x?≥2， xy2xy2xy2x2y 当且仅当＝，即x＝2y时取等号．故x?y＋(2y)?x的最小值为2. yx 答案：2 p