a2 a1 a
（2）设ai（i?1,2）为正格子的基矢，则由关系式ai?bj???2?,i?j?0,i?j
所确定的bi（i?1,2）为基矢的点阵，称为正格子的倒格子，
在倒格子空间，布拉格反射的条件为：反射波矢k与入射波矢k0相差一个或者倒格矢nGh，即k?k0?nG0
（3）i与j是相互垂直的单位矢量，取单位矢量k垂直于i和j，则a1，a2和k构成的体积：??a1?(a2?k)?(ai?aj)?(ai?aj)?2a2 根据倒格式基矢的定义 b1?b2?2?(a2?k)?2?(k?a1)??2?2a2?22?(ai?aj)??aa(i?j)
?2a?(ai?aj)??(i?j)
虽然这将是构成二维正方倒格子点阵，下图示出倒格子点阵和第一布里渊区，在布里渊区边界上将发生布拉格反射。
b2 i b1
(4)在点阵周期势场中运动的电子波函数是布洛赫波即：
?k(r)?eik?ruk(r)
式中函数uk(r)具有晶格平移对称性
uk(r)?uk(r?R)
式中R是晶格格矢，这是受晶格周期势场调制的平面波，此即布洛赫定理，布洛赫波的指数部分是平面波，描述了晶体中电子的共有化运动，而周期函数则描述了晶体中电子围绕原子核的运动，因而布洛赫波正是反映晶体中电子运动的特点。
4. 一束动能为1keV的电子通过一多晶金属箔产生衍射，这种金属具有立方晶体结构，原子间距为1 ?，求
（1）计算电子的波长；
（2）计算第一级衍射极大的布拉格角
2解（1）因为电子的波长??hp及
p2m?eV（V为电子加速电压），所以
??h(2meV)12?12.25V12?12.251000?0.39（?）
（2）由布拉格反射条件2dsin??n?，对第一级衍射极大，n?1, 又知d?1 ?，所以 sin???2d0.392?1??0.195，得 ??11.18?
5. 分别到处一维，二维和三维金属中自由电子的能态密度。
解：
金属自由电子E?k关系为 E(k)??k2m22
一维E?k是抛物线，二维等能线是圆，而三维等能面则是球。 （1） 一维情况。
E?E?dE电子数目相应于一维k轴在?k方向(2dk)范围内的状态如下图，计
入电子自旋，一维金属长度为L，
E dE dk dk k
g(E)dE?2?L2??2dk
m??(2mE)?12由自由电子色散关系，dk?代入得 g(E)?2L2m2??dE
?(2mE)?12?L2m2?2?(2)E?E2??111
（2） 二维情况。
E?E?dE电子数目相应于如图1.1.55二维k平面上半径k，宽度为dk的圆环内的状态数目，设二维金属面积为S
k dk
g(E)dE?2?S(2?)2?2?k?dk
由自由电子色散关系 dE?代入得 g(E)?2S(2?)2?22m?2kdk??22?m?2?kdk
?2m??2?Sm??2?常数
（3） 三维情况
E?E?dE电子数目相应于如图1.1.56三维k平面上半径k，宽度为dk的球壳内的状态数目，考虑电子自旋，对体积为V三维金属
g(E)dE?2?V(2?)3?4?k?dk2
kz dkk ky kx
由色散关系，
m??12dk??(2mE)dE
与色散关系一起代入上式
123121g(E)dE?2?V(2?)3?4??2mE?2?m?(2mE)??4?V?(2m?2)2E?E2