6． 在金属的自由电子模型中，假定传导电子可近似的看作是自由电子气，其中最重要的参数是电子密度n及两次碰撞之间的时间?，试导出金属电导率的表达式：??ne?m2，估计铜中电子的弛豫时间?，铜的电导率1.7?10-6??cm，
铜的原子密度为8.5?1023cm?3。
解：对于自由电子，动量p和波矢k的关系为：p??k
dpdtdkdt在外力F作用下的运动方程为：F???
即由于外力作用，所有电子的k值在平行于力F的方向上由所增加。但是，电子又通过碰撞回复到他们原来的状态而平衡态，如果碰撞的弛豫时间为?，则波矢k的平衡位移?k为：?k???F
?m相应地，速度变化为：?v??Pm??k??mF
若外加电场为?，则作用在每个电子上的力为：F??e?
2由此引起的电流密度为：j??ne?v?ne?m????
由此得电导率?为：??ne?m2
对于铜，若认为每个原子贡献一个导电电子，因此，n?8.5?1022cm?3
由此得铜电子弛豫时间：??m?ne2?mne?2?2.5?10?14（s）.
7.考虑每格点具有一个质量为m的原子的二维平方晶格，仅计及最近；邻原子之间的相互作用，力度常数为?，设声子色散关系曲线是：
?q?4??qa?)? ?sin(m?2?求：在长波极限下，求声子态密度D（?），即单位频率间隔d?中的点阵振动的模式数，
解：(1)在长波极限下，q?0，有
??4??qa?)???sin(m?2??maq，（1）
式中??q，是弹性色散关系，设二维晶格的面积为S，则声子态密度D（?）为：
D（?）?S(2?)22?qdq，即D（?）?S2?qdqd?，
由式（1）q???m?a即
d?dq??m?a
故模式密度 D（?）?S2?qdqd??S2???m?a?1?m??aSm?2?a?2
8. 铜是单价金属，其密度为8000kg/m3，原子量为64. 试计算绝对温度时电子的费米能；
解：铜是面心立方晶体，设晶格常数为a,一个晶胞中有4个铜原子，故铜密度
4?64N03??a，N0是阿伏伽德罗常数，则晶格常数a
1?4?64?10a???N0???3?3??3.76?10?10m=3.76 ? ??设铜晶体体积为V，包含有N个铜原子，每一个铜原子贡献一个电子，则共有N个传导电子，设费米球半径为kF,有2?1V3（2?）?43?kF3?N，
即kF???3??2N?32??(3?n)3 V?1电子浓度n?NV,对于面心立方晶体n??4???3?V?a?N
112故kF???3??2N?3(12?)3 ??V?a绝对零度下的费米能级
2EF??kF2m2?1.042?10?18J?6.5eV
9.若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量， （1）费米能和费米温度 （2）费米球半径
（3）在室温及低温时电子的平均自由程
银的密度=10.5g/cm3,原子量=107.87，电导率=1.61?10?6??cm（在295K），和电阻率=0.038?10?6??cm（在20K）.
10.5107.87解：银的电子浓度=
?6.022?1023?5.86?1023/cm3
（1）费米能EF和费米温度TF
EF??22m(3?n)?8.747?102?19J?5.46eV
TF?EFkB?5.468.617?10?5?6.34?10K
4（2）费米球半径kF
11?1kF3?3?3?322?8?2???n??2???5.86?10??1.2?10(cm?8???8??)
（3）费米速度vF??km?1.05?10?34?1.2?10?3589.1?10?1.38?10(cm/s)
8（4）金属自由电子论 ??1??ne?m2，则??1??mne2
在295K，??11.61?10?6?mne2?3.77?10?4(s)
???uF??1.38?10?3.77?108?14?5.2?10?6(cm)= 520?
同理20K下
?12??1.596?10(s)
???uF??1.38?10?1.596?108?12?2.2?10?4(cm)=2.2?104?
10.六角空间晶格。六角空间晶格的初基平移矢量可以取为：
????1?a1???32a/2?x?a2????y1? a2????32a/2?x?a2????y a?3?cz
1（a）证明原胞的体积为(32/2)a2c （b）证明倒格子得初基平移矢量为：
?1?b1???2?/32a?x??2?/a?y
???1?b2???2?/32a??x??2?/a?y ????b3??2?/c?z?
因此，正格子就是它本身的倒格子，但轴经过了转动。 （c）描述并绘出六角空间晶格的第一布里渊区。 解（a）
1a1?a2?a3??21201213a3aaa00?c123ac
220(b)
???xb1?2?a2?a3a1?a2?a3?4?3ac2y3a120az0?c2?a(13??120?x?y)
同理可以得到b2，b3
c.六位向量在倒易空间如下图如实线所示，虚线是实线的中垂线，它们组成的六边形就是第一布里渊区。
11. 液He3。He3原子具有自旋的
0.081gcm?312，是费米子。在绝对零度附近He3的密度为
，试计算费米能级EF和费米温度TF.
解：一个He3质量是5.01?10-24g，?F?7?10?16ergTF?5K