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第十章 双线性函数与正交空间、辛空间 引言 本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 对偶空间 教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解． 教学内容 本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念． 1.1 线性函数 设V是数域F上的一个向量空间． 定义1 设f∈Hom(V，F)，即??，?∈V，?k∈F，都有 f (α+β)=f (α)+f(β)，f (kα)=kf(α)， 则称f为V上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)． 由于f∈Hom(V，F)，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立． 线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子． 例1 定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数?af(x)dx,并 且满足 b?ab(f(x)?g(x))dx??abf(x)dx??abg(x)dx，?(kf(x))dx?k?f(x)dxaabb． 所以定积分是C[a，b]上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域F上每一个n阶矩阵A=(aij)nn对应F中的一个元素?aii,并且有 i?1nTr(A+B)= TrA+ TrB，Tr(kA)=kTrA ． 所以矩阵的迹是Mn(F)上的一个线性函数． 例3 在数域F上的一元多项式环F[x]中，未定元x用F中的一个元素t代入，它把每一个多项式f(x)对应F中的元素f(t)．由于未定辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第10.1.2页 元x用t代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x用t(t∈F)代入是向量空间F[x]上的一个线性函数． 例4 给定F中的n个元素a1，a2，?，an，?(x1，x2，?，xn)∈Fn，规定 f(x1,x2,?,xn)?a1x1?a2x2???anxn， (1) 容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是Fn上的一个线性函数． 请注意，在数学分析中，把形如g(x1,x2,?,xn)?a1x1??? anxn?b的n元函数g叫做线性函数．若b≠0，则g不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数． 我们来讨论有限维向量空间V上的线性函数f 的表达式． 设V是数域F上的n维向量空间，f是V上的一个线性函数．在V中取一个基?1,?2,?,?n．由于f可以看成是向量空间V到向量空间F的一个线性映射，因此f 完全被它在V的一个基?1,?2,?,?n上的作用所决定．即只要知道f(?1),f(?2),?,f(?n)，就可以知道V中任一向量???xi?i在f 作用下的象 i?1nf(?)??xif(?i)． (2) i?1n(2)就是线性函数f 在基α1，?，αn下的表达式．它表明，f在β上的函数值f(β)是β的坐标x1，?，xn的一次齐次多项式． 进而考虑数域F上n维向量空间V上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见 定理10.1.1 设V是F上一个n维向量空间，α1，α2，?，αn是V的一个基，a1，a2，?，an是F中任意取定的n个数，则存在V上唯一确定的线性函数f ，使得 f (αi)=ai， i=1，2，?，n． (3) ? 因此，????xi?i∈V，则β在f下的象为i?1nf(?)??xiai． i?1n1.2 对偶空间 设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第10.1.3页 线性函数空间，也记作T1(V)． 以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有 dimHom(V，F)=dimFn?1=n． 这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V． 在V中取一个基α1，α2，?，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了． 由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，?，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= ?=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，?，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α2)=1，f2(αj)=0，j≠2；??；给定F中n个元素0，?，0，1，则存在V上唯一的线性函数fn，使得fn(αn)=1，fn(αj)=0，j≠n． 这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，?，fn，其中fi(1≤i≤n)在基向量上的函数值为 fi(αj)=δij， (4) 这里δij是Kronecker记号． 现在我们断言f1，f2，?，fn是线性无关的．设 k1 f1+k2 f2+?+knfn=0， (5) 并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+?+knfn(αj)=0．于是由(4)推得kj=0，j=1，?，n．因此f1，f2，?，fn线性无关． 综上所述，f1，f2，?，fn是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到 定理10.1.2 设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V． ? 若在V中取一个基α1，α2，?，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，?，fn是V*的一个基，叫做α1，α2，?，αn的对偶基． 设α1，α2，?，αn是V的一个基，f1，f2，?，fn∈V*是α1，α2，?，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，?，αn下的坐标，以及V*中任一向量f 在基f1，f2，?，fn 下的坐标．设???xj?j，由(4)得 j?1nnfi(?)??j?1xjfi(?j)?xi， (6) 即β在基α1，?，αn下的坐标的第i 个分量等于fi(β)．因此 辽 东 学 院 教 案 纸
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n??n?i?1fi(?)?i． (7) V*中任取一个向量f??cifi，比较左右两边的函数在αj上的函数值i?1得 f(?j)??cifi(?j)?cj． i?1nn (8) 这表明f 在基f1，f2，?，fn下的坐标的第j个分量等于f(αj )．因此 f??j?1f(?j)fj． (9) 例5 设V=M2(F)，在V中取一个基E11，E12，E21，E22，求它的对偶基f11，f12，f21，f22，并求V上任一线性函数f 的表达式． 解 从(4)得 f11(E11)=1，f11(E12)=f11(E21)=f11(E22)=0， f12(E12)=1，f12(E11)=f12(E21)=f12(E22)=0， f21(E21)=1，f21(E11)=f21(E12)=f21(E22)=0， f22(E22)=1，f22(E11)=f22(E12)=f22(E21)=0． 任取A=(aij)22∈M2(F)，由于A???aijEij，所以f11(A)=a11，f12(A)=a12， i?1j?122f21(A)=a21，f22(A)=a22．于是，对于V上的任意一个线性函数f,设f(Eij)=cij，i，j=1，2，则由(9)得 f(A)?c11f11(A)?c12f12(A)?c21f21(A)?c22f22(A) ． (10) 例6 考察实数域R上的n维向量空间V=R [x]n．对任意取定的n个不同实数a1，a2，?，an，根据Lagrange插值公式，得到n个多项式 ?c11a11?c12a12?c21a21?c22a22pi(x)?(x?a1)?(x?ai?1)(x?ai?1)?(x?an)(ai?a1)?(ai?ai?1)(ai?ai?1)?(ai?an)，i=1,2,…,n． 它们满足pi(aj)=δij，因此p1(x)，p2(x)，?，pn(x)线性无关．因为由 c1 p1(x)+x2 p2(x)+?+cn pn(x)=0， 用ai代入，即得 ?ckpk(ai)?cipi(ai)?ci?0，i=1，2，?，n． k?1n又V是n维的，所以p1(x)，p2(x)，?，pn(x)是V的一组基． 设Li∈V*(i=1，2，?，n)是在ai点的取值函数： Li(p(x))=p(ai) p(x)∈V，i=1，2，?，n， 辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第10.1.5页 则线性函数Li满足 Li( pj(x))=pj(ai)=δij． 因此，L1，L2，?，Ln是p1(x)，p2(x)，?，pn(x)的对偶基． V中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是 定理10.1.3 设V是数域F上n维向量空间，α1，?，αn与β1，?，βn是V的两个基．设它们的对偶基分别是f1，?，fn与g1，?，gn．若V中基α1，?，αn到基β1，?，βn的过渡矩阵是A=(aij)nn，则V*中基f1，?，fn到基g1，?，gn的过渡矩阵为(A?1)?． 证 由已知条件，有 (β1，?，βn)=(α1，?，αn)A (11) 于是 ?i??aki?k． (12) k?1n设f1，?，fn到g1，?，gn的过渡矩阵为B=(bij)nn，则 (g1，?，gn)=( f1，?，fn)B (13) 于是gj??bkjfk．将此式的两边作用于βi，并注意到fk(?i)?aki，k?1n则得 ?ij?gj(?i)?－?bkjfk(?i)??bkjaki． (14) k?1k?1nn因此，A?B=In．故B=( A?)1=( A1)?． ? －1.3 双重对偶空间 考察V到V*的一个同构映射．因为V和V*都是n维的，所以它们都与Fn同构．我们知道，在数域F上一个n维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n维向量空间到Fn的一个同构映射．于是，在V中取一个基α1，α2，?，αn，而f1，f2，?，fn∈V*是α1，α2，?，αn的对偶基，则有V到Fn的一个同构映射σ1： ?1(?ai?i)?(a1,a2,?,an)． i?1n又有Fn到V*的一个同构映射σ2： ?2(a1,a2,?,an)??aifi． i?1nn从而有V到V*的一个同构映射σ=σ2σ1： n?(?ai?i)?i?1?aifi． (15) i?1