辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第10.1.6页 设???ai?i，记σ(α)=f?，则由(15)得 i?1nf??n?aifi． (16) i?1n对于V中任一向量???bi?i，由(16)、(15)得 i?1f?(?)??aifi(?)??aibi． (17) i?1i?1nn因此，α在上述同构映射下的象f?在β上的函数值f?(β)等于α与β的坐标的对应分量乘积之和． 以上的讨论是在F上任一n维向量空间进行的．因此对于F上n维向量空间V，我们也可以考虑V*上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V*，F)(也记成T1(V*))，它是V*的对偶空间，简记成V**．据定理10.1.2得，dimV**=dimV*=dimV．因此 V≌V**． (18) V**叫做V的双重对偶空间． 进而求V到V**的一个同构映射，在V中取一个基α1，?，αn，设它的对偶基是f1，?，fn．任取V中一个向量???ai?i，则由上讨i?1n论有V到V*的一个同构映射σ1，它把α映成f?．对V*，有V*到V**的一个同构映射σ2，它把f?映成α**，其中α**( f )等于f?与f在基f1，?，fn下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有nnf???aifi，f?i?1?i?1f(?i)fi??．因此 nn?(f)??aif(?i)?i?1f(?ai?i)?f(?)i?1． (19) 这样，我们找到了V到V**的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V中向量α映成V**中元素α**，其中 α**( f )=f(α)，?f ∈V* ． (20) 因此证得 定理10.1.4 设V是F上的n维向量空间，V**是V的双重对偶空间，则 V ≌V**； 并且V到V**的一个同构映射是σ：α?α**，其中α**( f )如(20)所示． ? 必须指出，V到V**的上述同构映射不依赖于V中基的选择．因辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第10.1.7页 为上面在V中取定一个基α1，?，αn，我们找到了V至V**的一个同构映射σ：α?α**，其中α**( f )=f(α)，?f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，?f∈V *． 又在V中另取一个基β1,?,βn，设它的对偶基是g1,?,gn．则类似地有V到V*的一个同构映射τ1,它把V中向量???bi?i映成g?；i?1n且有V*到V**的同构映射τ2，它把g?映成τ2(g?)，其中τ2(g?) f 等于g?与f在基g1，?，gn下的坐标的对应分量乘积之和．因为g???bigi，i?1n并且f=?f(?i)gi，所以 i?1nni?1n?2(g?)f??bif(?i)?f(?bi?i)?f(?),?f?Vi?1? (21) 于是得到V到V**的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V中向量α映成τ(α)，其中 τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g?) f =f (α)，?f ∈V*． 因此σ(α) f =τ(α) f，?f ∈V*．由此得出 σ(α)=τ(α)，?α∈V． 故σ=τ．这就证明了 V到V **的同构映射：α?α**，其中α**( f )=f(α)不依赖于V中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构． 由于V到V **存在自然同构，因此我们可以把V**与V等同，从而可以把V看成V*的对偶空间，这样V与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V的对偶空间的原因． 由于V可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n维向量空间可以看成是某个n维向量空间上所有线性函数组成的空间． 课外作业： P513：2、1)；3；4；5