当△ABC是直角三角形（∠C＝90°），且CH⊥AB时，此图有很多特殊的性质（有两个常见题涉及此图：一是说斜边上的高CH等于这三个圆的半径和——此题曾作为1959年的基辅数学竞赛题（七年
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级）№297；一是说r1＋r2＝r。前者只需利用直角三角形中r＝p－a，而后者相当于勾股定理）。
作出⊙I1，⊙I2的另外一条外公切线MN。下图表明这时有很多相等的线段（PQ＝DH，EE1
＝DD1＝D2H，FF1＝DD2＝D1H），并有六个三线共点（图中用虚线显示）。设高CH和外公切线MN的交点为L，则L到C，I1，I2三点等距；而且，这时LI1，LI2的方向也与直角边平行。
CEE1MLPNQI2D2BF1FI1IA04031904D1DH
A【040321】《初中数学竞赛辅导讲座》（上海科技出版社1987年版）杜锡录的讲座中有一道常见题：“设P为正三角形ABC外接圆BC弧上的任意一点，CP的延长线交AB的延长线于E点，BP的延长线交AC的延长线于F点。求证：BC2＝BE2CF。（思考题9 №3）”
（只需证明△EBC∽△BCF即可。）
此题可推广为（昨天晚上得到）：
推广 设P为△ABC外接圆上任意一点，CP的延长线交AB的延长线于E点，BP的延长线交AC的延长线于F点。又设AC边的垂直平分线交AB于J，AB边的垂直平分线交AC于K。求证：JE2KF＝定值。
AEBPC04032101FOJKBCPF04032102E
（同样，可以证明△EJC∽△BKF。其中∠EJC＝∠BKF＝2∠A，另两组对应角亦不难说明其相等。由此JE2KF＝BK2CJ＝AK2AJ＝bc/(4cosA)。）
利用上述两三角形相似，还可编出如下一题：“设P为△ABC外接圆上任意一点，CP的延长线交AB的延长线于E点，BP的延长线交AC的延长线于F点。AC的垂直平分线交AB于J，AB的垂直平分线交AC于K。求证：CE2∶BF2＝（AJ2JE）∶（AK2KF）。” 事实上，此图中还蕴含进一步信息：如下左图，设D是外接圆B，C处切线的交点（即旁类似重心），则DJ∥AC，DK∥AB。且在B，J，O，K，C，D六点所共圆中，（注：《梁绍鸿》中有一个习题提到B，J，O，K，C五点共圆，见习题十六№10。）JK，BD，CD三条弦相等。记其圆心为M（即OD的中点），则M对这三条弦的张角均为2∠A；M至这三条弦的距离均为
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R。
上述现象还有一个解释：当A点在外接圆上移动时，直线JK的包络是以M为心的圆，其大小为外接圆之半。
AAOJKJOKBMCEBPCD04032103DF
04032104
由Pascal定理的特例不难说明图中的D点和上图中的E，F三点共线。加上DJ∥AC，DK∥AB，就可给出上面推广的另外一种证法：EJ∶JA＝ED∶DF＝AK∶KF（见上右图）。
设I1是BC边外的旁心。类似于04032103图，过I1作I1E∥AC交AB于E，作I1F∥AB交AC于F。不难确定外心O到直线EF的距离为BS/2（其中，S是弧BC的中点）。也即当A点在外接圆上移动时，直线EF的包络也是圆，以外心O为圆心，其大小为SI之半。
其实，这个结论近乎平凡，它是“鸡爪定理”（SI＝SI1＝SB＝SC）的直接推论。
AAOECBFSEIOIF04032105BCS04032107I1
类似地，过内心I作平行线IE和IF，则O到EF的距离仍是SI之半（见上面右图）。 但如过类似重心K作这样的两条平行线KE和KF，则直线EF之包络就是像下面左图所示的馒头曲线了。
AAEFEOFH04032108BKCBCO'
当取垂心H时，结论十分有趣：EF的包络是一个椭圆——以底边BC为短轴，以外心O为一个焦点，该椭圆的长轴等于外接圆的直径（见上面右图）。
而当取九点圆心时的情形则更为有趣：EF的包络是二次曲线，以BC的垂直平分线为长轴，以OM的中点为中心（M是BC中点），而且该二次曲线的长轴与外接圆的直径之比为3∶4。
当∠A等于30°时，此时椭圆恰以O，M为焦点；当∠A在40°左右时，二次曲线成为圆。注意，这条二次曲线并不总是过B，C两点的：当∠A小于某一临界角（约36°左右）时，该二次曲线过B，C两点；一旦大于临界角，就不过B，C两点了。
当∠A大于120°时，包络就变为双曲线。但它的离心率如何刻划呢？
Am?BOC = 64.68?EFONi04032109BMC 这个图形奥妙无穷，还有待继续研究。
最为有趣的是九点圆心Ni关于EF的轴对称点的轨迹。它有时像一只苹果（不知会否成为心脏线？），有时像一只柠檬，有时像一只芒果，有时又像一只葫芦。真是变幻莫测！
AFEOONiCC04032110BANiB
AANiFBOC04032110EONiCB
【040329】3月26日（五）晚考虑了如下轨迹：
设∠XOY是定角，P是平面上动点，P在OX，OY上的射影分别为A，B。 最简单的情形是：
模式0 使线段AB的长度为定值之P轨迹，是以O为中心的圆。
备考：《梁绍鸿》习题十№6：“过圆上任意一点向固定的两直径作垂线。求证两垂足的距离为定长。”
模式1 使△OAB的面积为定值之P轨迹，是以O为中心，垂直于OA，OB的两直线为渐近线的双曲线。
OAPB04032601XY 模式2 使四边形OAPB面积为定值之P轨迹，是以O为中心的等轴双曲线。
OAPB04032602XY
3月28日（日）又继续考虑如下轨迹：
模式3 使△OAB的周长为定值之P轨迹，也是双曲线，以顶点O为一个焦点。其中心是△OAB的曼海姆（Mannheim）圆的圆心M。
注：当△OAB的周长为定值时，底边AB的包络是一个圆（即△OAB的旁切圆是个定圆）；△OAB的外接圆的包络也是一个圆，称为Mannheim圆，记为⊙M，它也嵌于∠XOY内，其切点连线恰好经过△OAB的旁心。旁切圆⊙I与Mannheim圆⊙M之比为cos2A2。
备考：《梁绍鸿》总复习题№39：“设A是定圆⊙I外的定点，过A作⊙I的切线AX，AY，又任意作切线交AX，AY于B，C。则△ABC的外接圆常切于某一定圆。”（Mannheim定理）
OBAPIM04032801XY