OBB0A0CAX04033009Y
过顶点O作AB的垂线OH（H是垂足）。当AC＝HB时，AB的长度达到最小。此即斐洛（Philo）问题，它是尺规作图不能问题。
OACH04033010BXY
那么何时四边形OAPB的面积（或周长）取极值呢？于此今晚还未探索出结果来，估计也不会有太好的结果。
【040331】今探索了昨晚最后所提出的问题，结果出乎意料的好，与斐洛问题几乎异曲同工。
猜想 定角∠XOY内有一定点C，AB是过C的一条动截线，A，B处的垂线交于P。设OP与AB的交点为Q。当AQ和CB相等时，四边形OAPB的面积达到极大值。
OAQCBPQB = 3.16025 厘米AC = 3.33859 厘米面积 OAPB = 15.68627 厘米 = 16.67 厘米2周长 OAPB04033101XY
由此可编出如下题目：“已知PA⊥OA，PB⊥OB，OP和AB交于Q点。在AB上取一点C，满足AQ＝CB。过C任作一条直线A′B′，过A′，B′分别作OA，OB的垂线，设两垂线交于P′。求证：四边形OA′P′B′的面积?四边形OAPB的面积。 等号仅当A′B′与AB重合时达到。”
OB'AA'P面积 PAOB面积 OA'P'B' = 42.05498 厘米 = 41.16531 厘米22QCBP'X04033102Y
至于四边形OAPB的周长，也有一个极好的猜想。
猜想 定角∠XOY内有一定点C，AB是过C的一条动截线，A，B处的垂线交于P。当四边形OAPB的周长达到极小值时，P恰是其轨迹所在双曲线的一个顶点！ OOP'DMiBm PP' = 8.31510 厘米MiB周长 O拖动APB = 23.77459 厘米CAC拖动APP周长 OAPB = 22.95341 厘米 = 0.00991 厘米XMi 到 OC 的距离 Y0403310404033103 Y从上右图可以看出，四边形OAPB的周长与线段PP′的长度同时达到最小值。这时△ABC的Mittonpunkt与直线OC的距离很近，但并不为0。 晚上又仔细考察了模式3中的双曲线。其实，过Mannheim圆的圆心M所作的角两边的垂线，就是该双曲线的两条渐近线；而Mannheim圆的两个切点连线（必经过I点），就是双曲线的一条准线。双曲线的离心率自然为定角∠XOY之半的余割。
XOACPIMB04033107 根据上面的事实，可编出下面这道漂亮的题目： 自编题 已知M是等腰△ABC底边BC的中点，以M为心作半圆和两腰相切。过半圆上任意点D作切线，交两腰于E，F。再过E，F分别作两腰的垂线相交于P，过P作PQ⊥BC，垂足为Q。求证：AP∶PQ＝2AB∶BC。 （补注：04年4月2日上午田廷彦来电说已给出简单证明。） AFDEPBQM04033108C
同时也仔细考察了模式4中的双曲线。同样，过D点所作的角两边的垂线，就是该双曲线的两条渐近线。但遗憾的是，花了很长时间研究该双曲线的焦点及准线，却未能探索出它们和点C的依赖关系。于是只能退而研究C对双曲线的中心D的控制关系，得到一个不太重要的结论：“CD连线与角O平分线的交点（图中标为S）在双曲线上。”
OEFDCS04033106 事实上，从C到D的变换是平面上的一次仿射变换（以顶点O为不动点）。 当点C在某条直线上运动时，CD连线的包络一般来说构成抛物线（因为这是两条直线之间的仿射对应，根据Apollonius的定理便可知道）。但也可能退化为线束，很值得进一步探索——这时直线的方向对于仿射变换来说是本质的。 如在本题的具体情况下，凡平行于∠XOY外角平分线的直线，就具备这样的特性。于是就可提炼出如下结论：
命题1 已知等腰△OAB，S是AB垂直平分线上的一点，满足SA⊥OA，SB⊥OB。在底边AB上任取一点C，作平行四边形CEOF， E，F在两腰上。再过E，F分别作两腰的垂线相交于D。求证：C，D，S三点共线。
OEFACBDS04040101
命题1中OASB为直角筝形是不必要的，它可推广为：
命题2 已知四边形ABDC，且AD平分对角线BC。P是BC上任意一点，作平行四边形PEAF， E，F分别在AB，AC上。再过E作EQ∥BD，过F作FQ∥CD，两线交于Q。求证：Q，D，P三点共线。
AEQFBP04040102CD
或将它改述为：
命题2′ 在已知△ABC中线上取一点D，P是底边AB上任意一点，作平行四边形PEAF， E，F分别在AB，AC上。再过E作EQ∥BD，过F作FQ∥CD，两线交于Q。求证：Q，D，P三点共线。
AQEDFBM04033105PC
命题2中所涉及的中线和平行四边形，似都不是本质的，我的目标是给出这类命题最为一般的推广。可考虑如下模式：设P是∠XOY所在平面上的动点，过P按既定方向作射线PE，EQ及PF，FQ，得交点Q。则从点P到点Q是平面上的一个仿射变换，以O为不动点。