这个丌学季内市场需求量X的平均数：
=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．
（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， ∴当100≤x≤160时， y=50x﹣（160﹣x）?30=80x﹣4800， 当160＜x≤200时， y=160×50=8000， ∴y=
．
（Ⅲ）∵利润不少于4800元，
∴80x﹣4800≥4800，解得x≥120，
∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1﹣0.1=0.9．
点评： 本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．
18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为等边三角形，D为AC的中点，AA1=AB=6． （Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A； （Ⅲ）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点，证明：A1B∥OD，即可证明直线AB1∥平面BC1D；
（Ⅱ）证明BD⊥平面ACC1A1，即可证明：平面BC1D⊥平面ACC1A； （Ⅲ）利用
=
，求三棱锥C﹣BC1D的体积．
解答： （Ⅰ）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点． ∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线， ∴A1B∥OD．
∵OD?平面AB1C，A1B?平面AB1C， ∴直线AB1∥平面BC1D；…（4分）
（Ⅱ） 证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点， ∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面BC1D，∴平面 BC1D⊥平面ACC1A；…（8分） （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴S△BCD=∴
=
==
，
=9
． …（12分）
点评： 本题考查线面平行，平面与平面垂足，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，满足4Sn=（an+1）． （Ⅰ）求数列{an}通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn=
（n∈N），求证：b1+b2+…+bn＜．
*
2
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由数列递推式求出数列首项，取n=n+1得另一递推式，作差后可得{an}是等差数列，由等差数列的通项公式得答案； （Ⅱ）把数列{an}通项公式代入bn=解答： （Ⅰ）解：由4Sn=（an+1）， 令n=1，得
又4Sn+1=（an+1+1）， ∴
，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．
2
2
，由裂项相消法求和后即可证明b1+b2+…+bn＜．
，即a1=1，
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，则{an}是等差数列， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，bn=则b1+b2+…+bn=
=
，
==
．
点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．
20．设函数f（x）=ax﹣﹣2lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求f（x）的极大值； （Ⅱ）若f（x）在定义域上是单调函数，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出a=，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值； （Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≥0对于x＞0时恒成立，或f′（x）≤0对于x＞0恒成立，所以得到a≥围．
解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a+
﹣，
，或a≤
，求出
的最大值和最小值1，从而求出a的范
∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=，
∴f′（x）=+﹣=，x＞0，
令f′（x）=0，解得：x=，或2， ∴x∈（0，）时，f′（x）＞0， x∈（，2）时，f′（x）＜0， x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴x=时，f（x）取得极大值f（）=2ln2﹣； （Ⅱ）①若f（x）在定义域上是增函数， 则f′（x）≥0在x＞0时恒成立， ∵f′（x）=a+
2
﹣=，
∴需x＞0时ax﹣2x+a≥0恒成立；
化ax﹣2x+a≥0为a≥∵
=
≤1，
2
恒成立，
∴a≥1为所求；
②若f（x）在定义域上是减函数， 则f′（x）≤0在x＞0时恒成立， ∵f′（x）=a+
2
﹣=，
∴需x＞0时ax﹣2x+a≤0恒成立； 化ax﹣2x+a≤0为a≤∵
=
＞0，
2
恒成立，
∴a≤0为所求；
综合①②：a≥1或a≤0．
点评： 考查极值的概念，根据极值定义求极值，函数单调性和函数导数符号的关系．而对于第二问的关健是得到式子a≥
21．如图，已知圆E：
=16，点
，P是圆E上任意一点．线
，或a≤
，本题是一道中档题．
段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q． （1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）设直线l与（1）中轨迹Г相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），若恰好成等比数列，求△OAB的面积S的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线和圆的方程的应用． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）由题意易得|QE|+|QF|=4，由椭圆的定义可得；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0，由韦达定理和等比数列可解得k=，可得面积S=
|m|=
，由基本不等式可得最值．
2
2
2
解答： 解：（Ⅰ）连接QF，由垂直平分线的性质可得|QP|=|QF|， 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=4，
∴动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 可知a=2，c=
，故b=
=1， ．
∴点Q的轨迹Γ的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
2
2
2
联立，消去y并整理可得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0，
∴△=16（1+4k﹣m）＞0，x1+x2=﹣∵k1，k，k2构成等比数列， ∴k=k1k2=∴﹣km
2
2
2
22
，x1x2=，
，化简变形可得km（x1+x2）+m=0，
+m=0，解得k=．∵k＞0，∴k=．
2
2
此时△=16（2﹣m）＞0，解得﹣＜m＜． 又由A、O、B三点不共线得m≠0，∴﹣＜m＜∴S=|AB|d=
|x1﹣x2|?
且m≠0，
=|m|=|m|
=
2
2
≤=1
当且仅当2﹣m=m即m=±1时取等号， ∴△OAB的面积S的最大值为1
点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，设计轨迹方程的求解和圆锥曲线的最值，属难题．