21．（6 分）如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直 线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【解答】证明：∵?ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中
??EAO??FCO? ?AO?OC??AOE??COF?∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
?3x?6?xx?3?22 8 分）解不等式组?4x?5x?1，并求出它的整数解，再化简代数式2?
x?2x?1p?2?10xx?3（﹣2），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． x?3x?9【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得． 【解答】解：解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 解不等式
4x?5x?1＜，得：x＞0， 102则不等式组的解集为 0＜x≤3， 所以不等式组的整数解为 1、2、3，
x2?3xx?3x?3原式=?[] ?2(x?3)(x?3)(x?3)(x?3)(x?1)==
x?3(x?1)(x?3)? 2(x?1)(x?3)(x?3)1 x?1∵x≠±3、1，
∴x=2， 则原式=1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的 混合运算是解题关键．
23．（8 分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度． （参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，
cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【分析】过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度， 再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
【解答】解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如 图所示． 在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°， ∴CM=CD?cos40°≈15.4m，DM=CD?sin40°≈12.8m， ∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．
在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m， ∴BN=DN?tan10°≈10.8m．
在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m， ∴AN=DN?tan30°≈34.6m．
∴AB=AN+BN=45.4m． 答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通 过解直角三角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键．
24．（10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自
行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样． （1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【分析】（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元， 构建分式方程即可解决问题；
（2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可； （3）利用一次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500） 元． 由题意：
5000060000=， xx+500解得 x=2500，
经检验：x=2500 是分式方程的解．
答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元． （2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）， （3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000， ∵﹣200＜0，20≤m≤30，
∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解 题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．（10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上 （除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．
（1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．
【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、 GH 和 CD 的数量关系，求得 CD． 【解答】（1）证明：∵BC 为⊙M 切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB 是⊙M 的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H ∵MB=BE=1∴AB=2 ∴AE=AB?BE?5 由（1）根据面积法 AB?BE=BG?AE ∴BG=
2225 5由勾股定理： AG=455，GE= 55∵GH∥AB
GHGE?ABAE 5GH∴?5255
52∴GH=
5∴
又∵GH∥AB
HCGH① ?BCMB同理：
BHGH② ?BCDCHC?BHGHGH ?+①+②，得
BCMBDC∴ ∴CD=
GHGH+=1 MBDC2 3【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解 答时，注意根据条件构造相似三角形．
92
26．（12 分）如图，抛物线 y=ax+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，
2D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为
S?ADO1=，求出点 E 的坐标； S?AEF9
（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点， 是否存在点 2D，使 DA=DM?DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得 AF 的长，根据自变量与函数值的对应 关系，可得答案；
（3）根据两点间距离，可得 AD 的长，根据根与系数的关系，可得 x1?x2，根据 2DA=DM?DN，可得关于 n 的方程，根据解方程，可得答案．
9?a?b??0??2【解答】解：（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得? ?36a?6b?9?0??2
3?a=???4解得?，
21?b=???4抛物线的解析式为 y=﹣
32219x+x﹣； 442（2）∵EF⊥x 轴于点 F， ∴∠AFE=90°．
∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE， ∴△AOD∽△AFE． ∵
S?ADOAO1== S?AEFAF9∵AO=1，
∴AF=3，OF=3+1=4，
当 x=4 时，y=﹣
399221×4+×4﹣=，
4422∴E 点坐标是（4，
9），2
2
（3）存在点 D，使 DA=DM?DN，理由如下： 设 D 点坐标为（0，n），
22AD=1+n， 当 y=n 时，﹣
化简，得
2
﹣3x+21x﹣18﹣4n=0， 设方程的两根为 x1，x2， x1?x2=
32219x+x﹣=n 44218?4n 3DM=x1，DN=x2，
2218?4nDA=DM?DN，即 1+n=，
3化简，得
52
3n﹣4n﹣15=0， 解得 n1=，n2=3，
3∴D 点坐标为（0，﹣5）或（0，3）．
3【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的 关键是利用相似三角形的判定与性质得出 AF 的长；解（3）的关键是利用根与系 数的关系得出 x1?x2，又利用了解方程．