第19讲 解直角三角形
重难点1 解直角三角形
(2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．
【思路点拨】 设以BC为顶点的小正方形为EKBC，连接BE，BE与CD相交于点F.由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO.由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
方法指导在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解．
3
(2018·上海)如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝. 4(1)求边AC的长；
AD
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
BD
【思路点拨】 (1)过点A作AE⊥BC，解Rt△ABE求出AE，BE，再根据勾股定理，即可在Rt△AEC中求出AC的长；1AD
(2)作DF垂直平分BC，则BF＝BC，解Rt△BDF求出DF，再利用勾股定理求出BD，进而求出AD，则的值即可求出．
2BD
【自主解答】 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ABE中，tan∠ABC＝∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.
在Rt△AEC中，根据勾股定理，得AC＝3＋1＝10. 5
(2)作DF垂直平分BC，垂足为F，则BD＝CD，BF＝CF＝.
2DF3
∵tan∠DBF＝＝，
BF4
2
2
AE3
＝，AB＝5. BE4
∴DF＝
15. 8
5215225（）＋（）＝. 288
在Rt△BFD中，根据勾股定理，得BD＝2515
∴AD＝5－＝. 88则AD3＝. BD5
方法指导解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．
重难点2 解直角三角形的实际应用
(2018·广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速．如图，观测点C到公路的距离CD＝200 m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向，终点B位于点C的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10 s，问此车是否超过了该路段16 m/s的限制速度？(观测点C离地面的距离忽略不计．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
路程
【思路点拨】 根据速度＝，而时间已知，故要求速度，则需要求出A到B的距离．解Rt△CDA和Rt△CDB
时间分别求出DA和BD，则AB即可求出，进而可以求出AB的速度，与16 m/s比较大小即可得出结论．
【自主解答】 解：由题意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°. 在Rt△CDB中，tan∠DCB＝解得DB＝200.
在Rt△CDA中，tan∠DCA＝
DADA＝＝3， DC200DBDB＝＝1. DC200
解得DA＝2003.
∴AB＝DA－DB＝2003－200≈146(m)．
AB146
骑车速度v＝＝＝14.6(m/s)＜16(m/s)．
t10答：此车没有超过该路段16 m/s的限制速度．
(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度i＝1∶3的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC.(结果保留根号)
【思路点拨】 过点D作DF⊥AC，则DF＝EC，∴BC＝BE＋DF.解Rt△BDE和Rt△DAF分别求出BE，DF即可求解．
【自主解答】 解：过点D作DF⊥AC，垂足为F. ∵坡面AD的坡i＝1∶3且AD＝200， DF13
∴tan∠DAF＝＝＝. AF33∴∠DAF＝30°.
11
∴DF＝AD＝×200＝100.
22
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形．
∴EC＝DF＝100.
又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°， ∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°. ∴∠ABD＝∠BAD. ∴AD＝BD＝200.
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝
BE. BD
3
＝1003. 2
∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×sin60°＝200×∴BC＝BE＋EC＝100＋1003. ∴山高BC为(100＋1003)米． 方法指导
1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：
(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．
总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．
2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：
易错提示在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误．
考点1 锐角三角函数的定义
1．(2018·云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(A)
110310
A．3 B. C. D.
310102．(2018·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于(A)
3434
A. B. C. D. 55431253．(2018·滨州)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝．
25考点2 特殊角的三角函数值 4．(2018·大庆)2cos60°＝(A)
1
A．1 B.3 C.2 D. 25．(2018·烟台)计算：(π－3.14)＋tan60°＝1＋3．
1－12 018
6．(2018·白银)计算：2sin30°＋(－1)－()＝0．
2
考点3 解直角三角形
7．(2018·贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(B)
13
A. B．1 C. D.3 23
0
1
8．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O.若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是2．
3
3
9．(2018·自贡)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
4
解：过点C作CH⊥AB于点H. 在Rt△BCH中，
∵BC＝12，∠B＝30°，
122
∴CH＝BC＝6，BH＝BC－CH＝63.
2
3CH
在Rt△ACH中，tanA＝＝.
4AH∴AH＝8.
∴AB＝AH＋BH＝8＋63，AC＝AH＋CH＝10.
考点4 解直角三角形的实际应用
10．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(C)
2
2
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
11．(2018·咸宁)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高度BC约为300m.(结果保留整数，3≈1.73)
12．(2018·襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P到赛道AB的距离．(结果保留根号)
解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°. PC
在Rt△PAC中，＝tan∠PAC，
AC∴AC＝
3PC. 3
PC
在Rt△PBC中，＝tan∠PBC，∴BC＝3PC.
BC∵AB＝AC＋BC＝
3
PC＋3PC＝10×40＝400.∴PC＝1003. 3
答：建筑物P到赛道AB的距离为1003米．