筠门岭初中数学竞赛模拟试卷（二）
班级： 姓名： 得分： 一．选择题（共5小题）
123410
1．（2011?黔南州）观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想2的末位数字是（ ） 2 4 8 A．B． C． D．6 2．（2012?德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）
A． B． C． D． 3．（2011?台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺？（ ）
20a A． 20b B． C． ×20 D． ×20 4．（2012?自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次
从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（ ）
A． B． C． D． 5．（2009?芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
330° A． 315° B． 310° C． 320° D． 二．填空题（共5小题） 6．（2012?六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）=a+2ab+b展开式中的
33223
系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）=a+3ab+3ab+b展开式中的系数1、3、3、1恰好对应
44
图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）的展开式，（a+b）= _________ ．
n
2
2
2
7．（2012?凉山州）对于正数x，规定
，例如：
，
，则
= _________ ．
8．（2011?成都）设
，
，
，…，
．
设，则S= _________ （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
；又过
9．（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= _________ ．
10．（2013?衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边 形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 _________ ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
11．我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]=3，（1）填空：= _________ ； （2）求的值．
12．（2013?张家界）阅读材料：求1+2+2+2+2+…+2
2
3
4
2013
，在此规定下解决下列问题：
的值．
解：设S=1+2+2+2+2+…+2+2，将等式两边同时乘以2得：
234520132014
2S=2+2+2+2+2+…+2+2
2014
将下式减去上式得2S﹣S=2﹣1
2014
即S=2﹣1
23420132014
即1+2+2+2+2+…+2=2﹣1 请你仿照此法计算：
23410
（1）1+2+2+2+2+…+2
234n
（2）1+3+3+3+3+…+3（其中n为正整数）． 13．（2012?济宁）问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
23420122013
建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这关系式去求解．
解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
14．（2013?绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．
（1）求AB1和AB2的长．（2）若ABn的长为56，求n． 15．（2011?连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知
=S△ABC，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究
与S四边形ABCD之间的数量关系．
．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式． 16．（2012?岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
2014年06月08日曹文胜的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
123410
1．（2011?黔南州）观察下列算式：2=2，2=4，2=8，2=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜想2的末位数字是（ ） A． 2 B．4 C．8 考点： 有理数的乘方． 专题： 规律型． 分析： 本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字．解答： 解：∵21=2，22=4，23=8，24=16， 25=32，26=64，27=128，28=256，… ∴210的末位数字是4． 故选B． 点评： 本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键． 2．（2012?德州）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ A． B． C． 考点： 展开图折叠成几何体． 专题： 探究型． 分析： 将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案． 解答： 解：A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误； B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确； C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误； D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误． 故选B． 点评： 本题考查了展开图折叠成几何体，熟悉其侧面展开图是解题的关键．
D．6
D． ）