三角函数的积化和差与和差化积
1. 公式的推导：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?(S???) (S???) (C???) (C???)
(S???)?(S???)得：sin(???)?sin(???)?2sin?cos? (S???)?(S???)得：sin(???)?sin(???)?2cos?sin? (C???)?(C???)得：cos(???)?cos(???)?2cos?cos? (C???)?(C???)得：cos(???)?cos(???)??2sin?sin?
等式两边同时除以2，即得到积化和差公式 （1）积化和差公式
sin?cos??cos?sin??1212[sin(???)?sin(???)] [sin(???)?sin(???)] 1212[cos(???)?cos(???)] [cos(???)?cos(???)]
cos??cos??sin?sin???公式特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两
角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角?，?，等式右边为它们的和差角。
在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为使用方便，在积
??????，??化和差公式中，令?????，?????，则??，将其代入积化和
22差的公式（1）中，就有
sin???2?cos???2?1
?sin??sin??2sin2???2(sin??sin?)?cos???2
同样可得到：
sin??sin??2cos???2????sin???2???2???2
cos??cos??2coscos??cos???2sin2???2?cos?sin这样我们就得到了“和差化积”公式 （2）和差化积公式：
??????sin??sin??2sin?cos
sin??sin??2cos2???2sin???2???cos??cos??2coscos 22??????cos??cos???2sinsin
222???
公式特点：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或
??????与差化为异名函数之积；等式左边为单角?，?，等式右边为的形式。
22 2. 由于三角函数的积化和差与和差化积公式在记忆上有一定困难，所以高考试卷中这两
组公式是给出的，但如果你对它们不熟的话，也很难运用自如，因此要明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得的，只有弄清了公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。
【解题方法指导】
例1. 求值
sin7??cos15??sin8?cos7??sin15??sin8?
分析一：要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特
殊角的三角函数。注意到7?与15?和8?的关系，本题采用积化和差与和差化积公式求解。
sin7??1212(sin23??sin7?) 解法一：原式=
cos7???
(cos23??cos7?)?2sin15??cos8?sin23??sin7?cos23??cos7?2cos15??cos8??tan15??tan(45??30?)
?tan45??tan30?1?tan45?tan30?3?13?11??1?3333
??2?3
分析二：利用7??15??8?这一特点，用两角差的正弦、余弦公式求解 解法二：原式=
sin(15??8?)?cos15??sin8?cos(15??8?)?sin15??sin8?
?sin15?cos8??cos15?sin8??cos15??sin8?
cos15?cos8??sin15?sin8??sin15?sin8?sin15??cos8???tan15? cos15?cos8?1?cos30?sin30?1??1232?2?3? 评述：解法一属常规方法，只要公式记忆准确就可以完成。解法二，简洁明快，它的巧妙之处在于拆角上。因此，观察是前提，交换是关键，全面的观察和透彻的分析可避免盲目推演，本题解法二抓住7??15??8?这一等角变换不仅避免了和积互化，而且也能更好地考查推理运算能力。
222?24??A)?cos(?A) 例2. 化简：cosA?cos(33
分析：先利用二倍角公式降次，再和差化积，最后用诱导公式将此三角函数式化到最简。 4?8?解：原式=
1?cos2A21?cos(?32?2A)1?cos(?32?2A)
?3232323232???12121212[cos2A?cos(4?3?2A)?cos(8?32?3]?2A)] ??[cos2A?2cos(2??2A)?cos[cos2A?cos(2??2A)]
???[cos2A?cos2A]
评述：本题求解过程中要注意倍角降次的作用，以及和差化积的使用，最后能求出值的一定要求出值来。
例3. 证明：tan3x2?tanx2?2sinxcosx?cos2x
分析：本题可以采用从左向右证，即切化弦，也可以从右向左证，把弦的问题转化成切的问题，还可以左右同时向第三个式子证（此方法对本题而言略显繁琐），下面给出前两种证法，证明过程中所用公式有相同的，也有不同的，各有各的特点。
证法一：左边=tan3x2?tanx2sin?cos3x2?3x2sinsincosx2x2 x2sin?3x2coscosx23x2)?coscos3x2x2sin(3x ?cos?cos222sinx23x?x2x?sinx12(cos2x?cosx)
cosx?cos2x2sinxcosx?cos2x3xx2?右边
∴等式成立 证法二：右边=
?2sinx2cossin?3x2?cosxx2
sin(?cos23x?)x2x3x2coscos
sin?cos23x?cos23x2?cos?cos3x2x2sinx2
2?3x2sincos2?tan3x?tanx?左边x222 评述：证法一是将“切化弦”，是常用方法。证法二是变角，分项，具有逆向思维的特
点，这也是一种重要的思维方法。
【考点突破】
【考点指要】
三角函数的积化和差与和差化积公式在高考试卷中是给出的，高考对于这部分知识主要是考查学生利用这些公式进行恒等变形的技能和一定的逻辑推理能力及运算能力，单独考查的可能性很小，但结合“和、差、倍、半角”公式，诱导公式以及三角函数的图像和性质等一并考查，则各种题型都会出现。选填题所占分值一般5分，属于容易题。解答题所占分值12~14分，属于中等难度题。
本讲内容在高考中主要考查：
灵活运用“积化和差与和差化积”等三角公式进行三角函数的化简，求值及三角恒等式的证明，重点考查学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力，运算推理能力和综合分析能力。
解决“积化和差与和差化积”的基本思路和方法：
它可以解决三类基本题型：三角函数式的化简，三角函数的求值，三角恒等式的证明。 题目中若出现和的形式，如一次三项式（或四项式），一般用“和差化积”进行化简；题目中若出现积的形式，如三个或四个因式的连乘积时，一般用积化和差进行化简。对于较
复杂的三角问题这两种方法要综合使用。
这两组公式，由于记忆上有一定困难，所以希望同学在学习“积化和差与和差化积”时要特别注重公式的推导过程，要了解这两组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，这样不仅有利于记忆公式，而且也培养了逻辑推理能力。
【典型例题分析】
例4. 求值：(cot18??tan18??cot36??tan36?)?tan36?
分析：从结构看：既有正切，又有余切，不统一，为此，可全部化为正切 原式=(tan72??tan18??tan54??tan36?)?tan36? 注意到：72??18??90?，54??36??90?
sin?cos?sin?cos?sin(???)cos?cos? 可利用正切的和差化积公式：tan??tan????化简
解：原式?(tan72??tan18??tan54??tan36?)?tan36?
sin72?cos72?sin18?cos18???sin54?cos54?sin36?cos36??(?(?(???)?tan36?sin(72??18?)cos72?cos18?1sin18?cos18?2sin36??2sin(54??36?)cos54?cos36?1sin36?cos36?)?tan36??tan36?)?tan36?)?tan36?
?(??
sin72?2(sin72??sin36?)sin36?sin72?4sin54??cos18?sin36??sin36??cos18?cos36?4sin54?cos36??4
?评述：①要注意观察式中角的关系与函数名称的关系，选择恰当三角公式解题。 ②从不同角度观察问题，探索多种解法，从中总结出一般的解题规律和常见的解题技巧。
2 例5. 在△ABC中，求证cos
A2?cos2B2?cos2C2?2sinA2?sinB2?sinC2?2。
分析：这是有附加条件的三角恒等证明
A?B?C??A?B???C
A?B222sin(A?B)?sin(??C)?sinC???C