第一章 量子力学的诞生
[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；
( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；
( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．
[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂
[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，
( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．
[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．
( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．
[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h；（2）h；（3）hc
2me2mn第二章 波函数与Schr?dinger方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能V(x)?[2] 一维运动的粒子处在
1m?2x2] 2?Axe??x,?(x)???0,的状态，其中??0，求：
当x?0当x?0
（1）粒子动量的几率分布函数；
（2）粒子动量的平均值。
[3] 平面转子的转动惯量为?,求能量允许值
[4]. 有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
[5] 对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出
E?mc21?vc22 (1)
p?mv21?vc22 (2)
试根据哈密顿量 H?E?m2c4?c2p2 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
[6]. （1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
nsin??nsin?1122
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理??pdl?0 认为p?mv则
??pdl?0这将导得下述折射定律
nsin?13?n3sin?1
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：p?能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有?Ev仍就成立，E是粒子c2?pdl?0，你怎样解决矛盾？
[7]. 当势能V(r)改变一常量C时,即V(r)?V(r)?c,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
[8]. 试证粒子势能的极小值是
???E?Vnmin
*3????1(x,t)?2(x,t)dx与时间无关。
[9]. 设?1与?2是薛定谔方程式两个解，证明[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：
?????????22? i??(x,t)????(x,t)?[V1(x)?iV2(x)]?(x,t)
?t2mV1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增
加”的速率。
[11]. 对于一维自由运动粒子，设?(x,0)??(x)求?(x,t)。 [12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即
2????* ??v?0?v?j/?? ????
第三章 一维定态问题
[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明
2a26a 1?22）x? （x?x）?（122n?并证明当n??时上述结果与经典结论一致。
[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。
[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： ? ?x?0? V?x?? 求粒子的能级。
[4]. 考虑粒子?E〈0?在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数 [5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。 [6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： ??x??1m?2x2 ?x?0? 24asin?xacos2?xa
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。
??p?并验证测不准关系： （?x），[7]. 设一谐振子处于基态，求它的
22[8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数?(x)?Ax(a?x)描述，A?化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。 [9]. 一维无限深势阱中求处于?n(x)态的粒子的动量分布几率密度?(p)。 [10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布 [11]. 一维谐振子处在基态?(x)230是归一a5??e???2x2i2??t2，求：
(1)势能的平均值U?1??2x2； 2p2 (2)动能的平均值T?；
2? (3)动量的几率分布函数。 [12]. 氢原子处在基态?(r,?,?)? (1)r的平均值；
13?a0e?r/a0，求：
e2 (2)势能?的平均值；
r (3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 Je??e? m2?n?m
? rsin?L2[14]. 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此
2I对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[sinkx?12coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。 [16]. 一维运动粒子的状态是
2?Axe??x, 当x?0 ?(x)??
0, 当x?0?其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。