第四章 力学量和表象变化
[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
d24x?22?? dx； ② ① ； ③ K?1
2n[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
ddd2， i， 42dxdxdx
d22[3] 下列函数哪些是算符dx的本征函数，其本征值是什么？
①x， ② e， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
2x???ieixdFdx的本征函数。 [4] 试求算符
dd)x]2??[x]??dx[5] 设波函数?(x)?sinx，求dx
[(
[6] 证明：如果算符A和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的。
????1?p?x?p?xx?)(x?p?xx[7] 问下列算符是否是厄米算符：①； ②2。
???????2???2???、?????1????2????[8] 如果算符满足关系式，求证①②
?3???3??2????3??
[9] 求
[10] 设?q,p??ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：
（1）q,pf(q)?2hipf.（2）[q,pf(q)p]?ih(fq?pf)（3）[q,f(q)p]?2ihfp
?P???Lxx?PxLx??；
?P???Lyx?PxLy??；
?P???Lzx?PxLz??
?2?2[p,p2f(q)]?（4）
h2ihhpf[p,pf(q)p]?pfip[p,f(q)p2]?fip2iii（5）（6）
[11] 证明以下诸式成立： (1)
22(2)
(3)
????lx?xl?ih[(r*x)x?(i*r)x]22
(4)
??????lpx?pxl?ih{(p*l)x?(l*p)x}???F??F[l,F]??hi(r???p??)??r?p [12]l为粒子角动量。F为另一力学量，证明：
?????p?r其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。
[13] 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明 (1)
[14] 证明
(2)
[15] 证明
是厄密算符
[16] 证
(A 等是实数)是厄密算符
?nxm?xmpnp?Anmm2[17] 证明?n（Anm实数）是厄密算符。
[18]证明，若
不一定是厄密算符。
当
大时并不趋于0，则
[19] 证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上
式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形
i=1,2,3......i自由度
[pk,F]?[20] 设F(x，p)是xk，pk的整函数，证明：
mnmnF[x,p]???Ckixkpi123??F?F[F,pk]?i?i?xk ⑴ ; ?pk ⑵
mn整函数是指mnki，
Cki是数值系数
第五章 力学量随时间的演化与对称性
?（不显含t）的平均值对时间的二次微商为： [1]. 证明力学量Ad2?,H?],H?] （H?是哈密顿量） ?A??[[A2dt2[2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t的物理量对时间t的导数的平均值等于零。
2?p??[3]. 设粒子的哈密顿量为 H?V(r)。 2?（１） 证明
d???(r?p)?p2/??r??V。 dt（２） 证明：对于定态 2T?r??V
[4]. 证明，对于一维波包：
d21x?(xp?px) dt?[5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。
[6]. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 [7]. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：
??12???Hp?V[/r??ii?rj/] ⑴
i2mii,ji?j???证明：总动量p?p??i为守恒。 ⑵
i??[8]. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量L??l?i为守恒。
[9]. 证明：对经典力学体系，若A，B为守恒量，则{A，B}即泊松括号也为守恒量，但不
?,B?，B?}也是守恒量，但不一定是?是守恒量，则{A一定是新的守恒量，对于量子体系若A新的守恒量。
[10]. 对于平面转子（转动惯量I），设：?(?,0)?Asin? （1） 试求?(?,t)
[11]. 证明周期场中的Bloch波函数 ?(x)?e?k(x) ，?k(xikx2?a)??k(x)
ika?(a)的本征函数，相应的本征值是e是Dx。
第六章 中心立场
[1] 质量分别为 m1,m2??r的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对坐标为：
??m1r1?m2r2????m?mr12R= (1) ；r?r2?r1 (2)
????????L?l1?l2P?p?p12及总角动量试求总动量在R, r表象中的算符表示。
121?12?[?,r]??[?,r]??2r?r2[2] 证明 ，
[3] 中心力场V(r)中的经典粒子的哈密顿量是
^p1??H???V(r)pr?r?p2m2mrr其中。
2rl2当过渡到量子力学时，pr要换为
11????1?1pr?[r?p?p?r]???i(?)2rr?rr
?1??^??i?r?pp?rr问是否厄米算符？r是否厄米算符。
^
[4] 经典力学中
??????l2?(r?p)2?r2?p2?(r?p)2
在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？
[5] 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算的氢原子波函数计算x,并验证测不准关系式。
[6] 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。
[7] 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（E—V）=T〈0 〉的几率。 [8] 证明，对于库仑场V?2E，T??E（E?T?V是总能量）
22px。用x表象中