∴∠M=2∠OAF． ∵ME∥AC，
∴∠M=∠C=2∠OAF． ∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，
∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF， ∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC， ∴CA=CN．
（2）连接OC，如图2所示．
4
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，
5
????4∴=． ????5
设CH=4a，则AC=5a，AH=3a， ∵CA=CN， ∴NH=a，
∴AN= ????2+????2= (3??)+??2= 10a=2 10， ∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8． 设圆的半径为r，则OH=r﹣6，
在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6， ∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2， 解得：r=
253
2
，
50
∴圆O的直径的长度为2r=．
3
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24．（12分）解：
（1）∵已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1， ∵抛物线经过点（4，2），
1∴2=a（4﹣2）2+1，解得a=，
41122
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）+1=x﹣x+2；
44
1
??=4??2???+2??=3? 5（2）联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 5 5或1??=2?2??=2??+1
??=3+ 5 5 5，
??=2+25 55 5∴B（3﹣ 5，﹣），D（3+ 5，+），
2222
∵C为BD的中点，
5 55 5?++2222∴点C的纵坐标为
2
5
=， 2
5 55 522∵BD= [(3? 5)?(3+ 5)]+[(2?2)?(2+2)]=5，
5
∴圆的半径为，
2
∴点C到x轴的距离等于圆的半径， ∴圆C与x轴相切；
（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，
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553
由（2）可知CM=，CH=﹣1=，
222
在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，
3+ 5?(3? 5)∵HF== 5，
2
∴MF=HF﹣MH= 5﹣2，
5 53 5∵BE=﹣﹣1=﹣，
2222???? 5+1∴==． ???? 5?22
3 5?2225．（14分）解：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下： 连接ME交NF于O，如图1所示： ∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC， ∴CN=CM=t，FN∥BC， ∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，
????????8
∴===2， ????????4
11
∴NF=AN=（8﹣t），
22
由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t， ∵四边形MNEF是正方形，
1
∴OE=ON=FN，
211
∴t=×（8﹣t），
22
8
解得：t=；
5
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8
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
5
（2）分两种情况：
1112
①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=﹣t+2t，
224
1
即y=﹣t2+2t（0＜t≤2）；
4
②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，
1
由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，
2
21
∴GH=NF=（8﹣t），
3311111
∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=（8﹣t）2，
2223121
即y=（8﹣t）2（2＜t≤4）；
12
（3）当点E在AB边上时，y取最大值， 连接EM，如图3所示：
则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM， ∵BM=4﹣t， ∴2t=2（4﹣t）， 解得：t=2，
∴CN=CM=2，AN=6，
1
∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，
2
∴EM=2BM=4，
作FD⊥NE于D，则EB= ????2+????2= 42+22=2 5，△DNF是等腰直角三角形，
3 2 2∴EF=????= 5，DF=HF=，
222
1
在Rt△DEF中，sin∠NEF=
????
3 10=．
???? 510
=3 22第19页（共20页）
2017年12月24日
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