机械工程测试技术基础第三版课后题答案
机械工程测试技术基础第三版课后题答案
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
??解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?式中：
1 Cn?T0
所以：
幅值频谱：
相位频谱：
?Cn???nejn?0t;n?0,?1,?2,?3,???
T0??2T02x(t)e?jn?0t1?0?jn?0tdt?dt????T0(?A)eT0?20T0?T020Ae?jn?0t?dt??21??A1?A?jn?0t??jn?0t??e?e????T0??jn?0??T0T0??jn?0?02??jAn??jAn??12?e?jn??ejn????jAn??1?cosn??2A???j;??n??0;???n??1,?3,?5,???n??2,?4,?6,???x(t)??n???2A???j??en???2jn?0t;n??1,?3,?5,?7,???Cn?CnR?CnI?22An?;n??1,?3,?5,??? CnR
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
T?n?arctgCnI?2A???arctg?n??0????????;n?1,3,5,???2??????;n??1,?3,?5,??????2?x?limT???0x(t)dt?1T0?T00x0sin?tdt?2x0?;式中：T0?2?? T0?0T0
1.3求指数函数 x ( ? Ae ? ? t ? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 t);( 解：
xrms?1T0x(t)dt?212??xsin?dtdt?00T0?x02X(f)??????x(t)e?j2?ftdt????0Ae??t?e?j2?ftdt?A??j2?f1
Bb
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1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:
令:
x1(t)?lime??0??tx(t)?j2?ft;dt
X1(f)??x1(t)e0??t?j2?ft?lim?(?1)edt???e??0??????0e??te?j2?ftdt????
1j?f
2)单位阶跃函数的频谱:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。 x(t)?
解：
?cos?0t;??0;t?Tt?T??x2(t)?lime??0??tx(t)?j2?ft;??1??t?j2?ft??dt?lim??eedt??0??0??j2?fX2(f)??x2(t)eX(f)?????x(t)e?j2?ftdt???T?Tcos2?f0te?j2?ft?j2?ftdt??T12?T?e?j2?f0t?ej2?f0t?edt?sin?(f?f0)2Tsin?(f?f0)2T??T????(f?f)2T?(f?f)2T00???T?sinc??1?sinc??2?Bb
2
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t1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( ? e ? ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? 0 t)sin?) 的频谱 解：
?j2?ft???? ?j2?ft??t 0??0 ???j2?f0tj2?f0t??t?j2?ft
0
X(f)???x(t)e?dt???esin2?ftedt?dt?ej
2?e?e?e
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。
在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现
什么情况？
解：
?j?11?????2???j2?(f?f0)??j2?(f?f0)??
X(f)????????x(t)e?j2?ftdt???f(t)cos2?ft??e??0???j2?ftdt??????1?j2?f0tj2?f0t??j2?ftf(t)?e?e?edt?2????12F(2?f?2?f0)?12F(2?f?2?f0)
当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象
2
1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx和概率密度函数p(x)
解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ 等式两边对x求导数：
Bb
3
x0)
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2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值
误差将是多少？ 解：H????1j???1?10.35?j?1?Y???X???1dtdx?1x0?x(t)??1???x??0?2?0?1?0x0?x(t)22p(x)?lim?2T??x?01?Tx?12?tlim?lim?T??T??x?0?x?x?T???1dtdx?x0?x(t)22
A????11??0.35??2?1?0.7??1????7?2
当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8% 2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos?100t?45的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
x?t??0.5sin?10t?90 A????11????????，通过传递函数为H?s??10.05s?1??0.2sin?100t?45?
?11??0.005??2?2 ，??????arctg?0.005??
?1?10，A??1??1，???1??2.86
? x?t1??0.5?1?sin?10t?90?2.86??? ，
? ?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57
Bb
4
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y?t2??0.2?0.89?sin?100t?26.57??45??
?y?t??0.5sin?10t?87.14???(?0.178)sin?100t?18.43??
2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??在内的输出y?t?的表达式。
解： x?t??cos??t??sin??t?90?? H?s??112s?1的一阶装置后，试求其包括瞬态过程
?s?11，A????11??????2，???arctg????
y?t??1????11?????22sin?t?90?arctg??????
=
?cos??t?arctg???
2.8求频率响应函数
3155072?1?0.01j???1577536?176j???2?的系统对正弦输入
x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。
解： 写成标准形式 H?????j???1??j???2??n?j????2?a??n22n?
?1?0.01j??1256?2??1????2??2?1256?2??j????125611??62.8?0.01?2?2
∴ A?????12?176?62.8??1??????12561577536??????2?2
?1.69?0.99?1.7 对正弦波，ux?A2?1.7?1021.5S2?12
2.9试求传递函数分别为
?1.4?nS2??n2和
41?nS222?1.4?nS??n2的两个环节串联后组
成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）
Bb
5