八、线性规划型放缩
例31. 设函数f(x)? 解析:由
(f(x)?122x?1x?22.若对一切x?R，?3?af(x)?b?3，求a?b的最大值。
?(x?2)(x?1)2(x?2)2222)(f(1)?1)?知(f(x)?1)(f(1)?1)?0 即
2?12?f(x)?1
由此再由f(x)的单调性可以知道f(x)的最小值为?1，最大值为1
21因此对一切x?R，?3?af(x)?b?3的充要条件是，???3??a?b?3
2???3?a?b?3? 即a，b?a?满足约束条件?a?????????b??3?b?31212a?b??3a?b?3，
由线性规划得，a?b的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证n(n?1)2?Sn?(n?1)22.
解析: 此数列的通项为a?k?k(k?1)?k?k?12n(n?1)2?k?12k(k?1),k?1,2,?,n.
12?k?n2，
2nn，
)??k?Sn?k?1?(k?k?1即n(n?1)?S2n??(n?1)2.
ab?a?b2注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式若放成
k(k?1)?k?1则得S?nn，
?(k?1)?k?12(n?1)(n?3)2?(n?1)22，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n1a1???1an?na1?an?a1???ann?a1???ann2 其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数
f(1)?f(2)???f(n)?n?12n?1f(x)?12.
11?a?2bx，若
f(1)?45，且f(x)在[0，1]上的最小值为1，求证：
2?解析:
?(1?f(x)?4xx1?4?1?11?4x?1?12?2x(x?0)?f(1)???f(n)?(1?12?2)
12?22)???(1?12?2n)?n?14(1?12???12n?1)?n?12n?1?12.
例34.已知a,b为正数，且1?1ab?n，试证：对每一个，n?N(a?b)?1?a?b?2nn2n?2n?1.
解析: 由1?1ab?1得ab?a?b，又(a?b)(1arnn?rr?1bnn)?2?nab?ba?4，故ab?a?b?4，
而(a?b)令
n?Ca0nn?Can1nn?1b???Cab???Cb，
???Cnabn?1n?1f(n)?(a?b)?an?bn1n?1rn?rr，则f(n)=Cnab???Cnab，因为
11
Cn?Cnin?i，倒序相加得
1n?1n?1rn?rrrn?rn?1n?1n?12f(n)=Cn(ab?ab)???Cn(ab?ab)???Cn(ab?ab)，
n而an?1b?abn?1???an?rb?abrrn?r???abn?1?an?1b?2abrnnn?2?42?2rn?rn?1，
b)?(2n?2)?2r1则2f(n)=(Cn???Cn???Cnrn?1)(abrn?r?an?rb)?(2?2)(ab?an?rn?1，
所以f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1.
n?11n 例35.求证C解析: 不等式左
?C2n?C???C3nnn?n?22(n?1,n?N)
n?1C?C1n2n?C3n???Cnn?2?1?1?2?2???2n2n?1?n?1?2?2???2n2n?1=n?22，
原结论成立.
例36.已知f(x)?ex?e?x,求证:f(1)? 解析:f(x)?f(x1nf(2)?f(3)???f(n)?(e1ex1x1?x2n?1?1)2
)?(e2x1?1ex1)?(ex2?1ex2)?ex1?x2?eex1x2?eex2x1??ex2?e?1
n 经过倒序相乘,就可以得到 例37.已知f(x)? 解析:(k?1)(2n?1?k?kx?1xf(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(en?1?1)2n
n,求证:f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2(n?1)
12n?1?k)?k(2n?1?k)?k2n?1?k?2n?1?kk?1k(2n?1?k)?2(2n?1?k)?2 其中:k?1,2,3,?,2n1k,因为k?2n?k(1?k)?2n?(k?1)(2n?k)?0?12n?1?k)?2n?2
22nk(2n?1?k)?2n
所以(k?)(2n?1?k? 从而[f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)]?(2n?2)?7,所以
f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2(n?1)nn.
例38.若k 解析:2Sn?(1n?,求证:Sn)?(1?1n??1n?11?1n?21???11nk?1?32.
1nk?1?1n)1nk?1n?1nk?2)?(n?2?nk?3)???(
?1y?4x?y 因为当x?0,y当且仅当x?0时,x?y?2xy,1x?1y?2xy,所以(x?y)(1x?1y)?4,所以1x,
?y时取到等号.
n
4?4n?2?nk?3???4n?nk?1?4n(k?1)n?nk?1 所以2S 所以
?4n?nk?1?
32n?1?nk?2Sn?2(k?1)1?k?1n?2(k?1)k?1?2?4k?1?32所以Sn?1n?1n?1?1n?2???1nk?1?
例39.已知
f(x)?a(x?x1)(x?x2),求证:
a2f(0)?f(1)?a2.
16 解析:f(0)?f(1)?a2[x1(1?x1)][x2(1?x2)]?.
16 例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
12
求证: [f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2).
解析: 由已知得f?(x)?2x?(1)当n=1时，左式=(2x?(2)n?2, 左式=[f?(x)]n
?2(Cnxn1n?22x(x?0)，
2x2x)?(2x?)?0右式=0.∴不等式成立.
2x)?2nn?1?2n?1n?f?(x)?(2x??(2x?n2xn)
?Cnx2n?4???Cnn?21x2n?4?Cnn?11x1n?2).
令S?Cnx1n?2?Cnx2n????Cn4n?1n?4x?Cnn?1
xn?2 由倒序相加法得：
2S?Cn(x1n?2?1xn?2)?Cn(x2n?4?1xn?4)???Cnn?1(1xn?2?xn?2)
?2(Cn?Cn???Cn?(2?2).
n12n?1)?2(2?2)，
n 所以S 所以[f?(x)]n?2n?1nnn?f?(x)?2(2?2)成立.综上，当
k是奇数，n?N?时，命题
成立
例41. （2007年东北三校）已知函数f(x)?ax?x(a?1)
（1）求函数f(x)的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围； （2）令S(n)?Cn1fx'(1)?Cnf(2)???Cn2'n?1f(n?1)求证：S(n)?(2n?2)?f(n)
'2(1)由f(x)?alna?1,f(x)?0,即：alna?1,?a同理：f(x)?0,有x??log所以f(x)在(??,?log所以f(x)min?f(?log若f(x)min?0,即?a的取值范围是1aaxx?1lna,又a?1?x??logalnalna,?loga
lna)上递减，在（lna)?1?lnlnalnalna,??)上递增；a1?lnlnalna?0,则lnlna??1,?lna?11e1?a?ee22n?1(2)S(n)?Cn(alna?1)?Cn(alna?1)???Cn?(Cna?Cna???Cna?12[Cn(a?ann1n?122122n?1n?112(an?1lna?1))n)lna?(Cn?Cn???Cnn?2n?1)?Cn(a?an)???Cnn?1(an?1?a)]lna?(2?2)
?a2(2?2)lna?(2?2)n'n?(2?2)(a2lna?1)?(2?2)f(),2nn所以不等式成立。★例42. (2008年江西高考试题)已知函数f正数a,证明：1?f?x??2．
?x??11?x?11?a?axax?8,x??0,???.对任意
13
解析:对任意给定的a?0,x?0,由
f(x)?11?x?11?a?11?8ax ,
若令
b?8ax，则
abx?8① ,而
11?xf?x??11?x11?x?11?a?11?b②
11?b11?b（一）、先证f?x??1；因为又由
?，11?a?11?a，?， ．
2?a?b?x?22a?2bx?442abx?8
11?x?11?a?11?b?11?x?11?a?11?b，得
?a?b?x?6所以f?x???3?2(a?b?x)?(ab?ax?bx)(1?x)(1?a)(1?b)?1．
9?(a?b?x)?(ab?ax?bx)(1?x)(1?a)(1?b)?1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx(1?x)(1?a)(1?b)（二）、再证f?x??2；由①、②式中关于x,a,b的对称性，不妨设x?a?b．则0?b?2 （ⅰ）、当a?b?7，则a?5，所以x?a?5，因为
11?x11?a21?511?b?1，
???1，此时f?x??8ab11?x11?x?11?aabab?8?11?b?2．
（ⅱ）、当a?b?7③，由①得 ,x?因为
同理得今证明 只要证
11?b11?a，b2?(1b?，
11?bb2(1?b)?1?b1?ba?b224(1?b)?[1?2] 所以
)?1?④ ⑥
?1?⑤ ，于是
abab?82(1?a)f?x??2?a1?a1?ab??2?2?1?a1?b???ab?8??aba1?a?b1?b?2⑦, 因为
，即
8?b1?b?2ab(1?a)(1?b) ，
ab?(1?a)(?1b)ab?ab，此ab?8?(1?a)(1?b)，也即 a?b?7，据③
为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
f(x)?2．
综上所述，对任何正数a,x，皆有1?f?x??2．
例43.求证:1?1n?11n?1?1n?21n?2???13n?113n?1?2
1????1??????????3n?1n?1??解析:一方面:(法二)
1n?11n?2?????1?11?12???????12?34?24????13n?1?1??11??11????????2??n?13n?1??n?23n
?? 1?4n?24n?24n?2?????????2?(3n?1)(n?1)3n(n?2)(n?1)(3n?1)?2??111(2n?1) ???2n?1?????????1222222?2?(2n?1)?(n?1)(2n?1)?n?(2n?1)?(2n?1)?n 另一方面:
1n?1?1n?2???13n?1?2n?1n?1?2n?2n?1?2
14
十、二项放缩
2n?(1?1)n1?Cn?Cn???Cn,2n?Cn0?Cn?n?1,
01n2?Cn?Cn?Cn?n012n2?n?22
12n?n(n?1)(n?2)
例44. 已知a1?1,an?1?(1?n?n2)an?12n.证明a1n?e2
1n(n?1))(an?1)? 解析:
an?1?(1?11n(n?1))?)an?1.n(n?1)?an?1?1?(1?
ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?n?1n(n?1)n?1n(n?1)??[ln(ai?2i?1?1)?ln(ai?1)]??i?21i(i?1)?ln(an?1)?ln(a2?1)?1?1n?1，
即ln(an?1)?1?ln3?an?3e?1?e.
2 例45.设
an?(1?1n)n，求证：数列{a}单调递增且ann?4.
?(n?1)b(b?a)n 解析: 引入一个结论：若b?a?0则bn?1?an?1整理上式得an?1?bn[(n?1)a?nb].（?）
以a?1?1n?1,b?1?1n（证略）
代入（?）式得(1?1n?1)n?1?(1?1n).n
即{an}单调递增。 以a?1,b?1?12n代入（?）式得1?(1?12n)?n12?(1?12n)2n?4.
，又因为数列{an}单调
此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有(1?1)nn?4递增，所以对一切正整数n有(1?1n)n?4n。
注：①上述不等式可加强为2?(1?1n)?3.简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：an 只取前两项有aCnkn?(1?1n)n?1?Cn?11n?Cn?21n2???Cnn1nn.
?1?Cn?111nk?nn?1???k!nn?1nn?k?1?2.对通项作如下放缩：
n?1k!?11?2?2?12k?1.
故有an?1?1?12?122???12n?1?2?11?(1/2)?21?1/2n?1?3.
②上述数列{an}的极限存在，为无理数e；同时是下述试题的背景： 已知i,m,n是正整数，且
(1?m)?(1?n).（01
nm1?i?m?n.（1）证明
1nAm?mAniiii；（2）证明
年全国卷理科第20题）
}:bn?(1?n)nn1m 简析 对第（2）问：用1/n代替n得数列{b1是递减数列；借鉴此结论可
1有如下简捷证法：数列{(1?n)n}递减，且1?i?m?n,故(1?m)?(1?n)n,即(1?m)n?(1?n)m。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：an?bn?21?n.
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为a,,b成等差数列，设a?2112?d,b?12?d，
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