从而
a?bnn?1??1?1?n???d????d??2?2??2?nn
8(n?1)(n?2)n 例47.设n?1,n?N，求证(2)n33?.
12)n解析: 观察(2)n的结构，注意到(3)2?(1?，展开得
n(n?1)8?(n?1)(n?2)?68(1?12)n?1?Cn?112?Cn?2122?Cn?3123???1?n2?，
即(1?1)2n?(n?1)(n?2)8，得证.
12nln2n 例48.求证:ln3?ln2?ln(1?n)?.
解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数y?f(x),x?N*,y?N*，满足： ①对任意a,b?N*,a?b，都有af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)；
②对任意n?N都有
*f[f(n)]?3n.
（I）试证明：f(x)为N*上的单调增函数； （II）求
f(1)?f(6)?f(28)；
?f(3),n?Nn*（III）令an，试证明：.
n4n?2≤1a1?1a2???1an?14
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a),所以可以得到(a?b)f(a)?(a?b)f(b)?0, 也就是(a?b)(f(a)?*
f(b))?0,不妨设a?b,所以,可以得到f(a)?f(b),也就是说
f(x)为N上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知(a?b)(f(a)?f(b))?0,令bf(1)?N*,所以可以得到f(1)?2
?1,a?f(1),则可以得到
(f(x)?1)(f(f(1))?f(1))?0,又f(f(1))?3,所以由不等式可以得到1?f(1)?3,又
①
f[f(2)]?6,f(6)?f[f(3)]?9f[f(18)]?54 接下来要运用迭代的思想:
因为f(1)?2,所以f(2)?f[f(1)]?3,f(3)?
f(9)?f[f(6)]?18 ②
,
f(18)?f[f(9)]?27,f(27)?,
f(54)?f[f(27)]?81 在此比较有技巧的方法就是:
81?54?27?54?27,所以可以判断f(28)?55 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项
数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有f(1)?f(6)?f(28)=55?9?2?66 (3)在解决{an}的通项公式时也会遇到困难.
f[f(3)]?3nn?1,f(3n?1)?f{f[f(3)]}?3f(3),?an?1?3an,所以数列an?f(3n),n?N*的方
nn
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程为an?2?3n,从而
1141a1?1a2???1an?14(1?13n),
一方面14(1?13n3n)?14,另一方面3n12n?1)?1??(1?2)?Cn?2?Cn?2?2n?1
n0011 所以14(1?)?(1?2n42n?1?n4n?2,所以,综上有
n4n?2≤1a1?1a2???1an?14.
例49. 已知函数f?x?的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x?[0,1]，总有f?x??3，且f?1??4； ② 若x?0,x2?0,x1?x2?1,1则有f?x1?x2??f?x1??f(x2)?3.
（Ⅰ）求f?0?的值； （Ⅱ）求证：f?x?≤4； （Ⅲ）当x?(1,3n13n?1](n?1,2,3,???)时，试证明：f(x)?3x?3.
解析: （Ⅰ）解：令x1?x2?0，
由①对于任意x?[0,1]，总有f?x??3， ∴f(0)?3
又由②得f(0)?2f(0)?3,即f(0)?3; ∴f(0) .?3 （Ⅱ）解：任取x1,x2?[0,1],且设x1?x2, 则f(x2)? 因为x?x21f[1x?(2x?1x)]?f(1x?)f(x?21 x?)3,1?0，所以f(x2?x1)?3，即f(x2?x1)?3?0,
∴f(x)?f(x).
∴当x?[0,1]时，f(x)?2f(1)?4.
13n?1（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(（1） 当n=1时，f(1)?30)?13n?1?3(n?N*)130
f(1)?4?1?3??3，不等式成立；
（2） 假设当n=k时，f(由f(
13k?113k?1)?13k?1?3(k?N*)
)?f[13k?(13k?13k)]?f(13k)?f(13k?13k)?3?f(13k)?f(13k)?f(13k)?6
得3f(1)?3kf(13k?1)?6?13k?1?9.即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式f(13n?1)?13n?1?3对一切正整数都成立.
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于是，当x?(13n,13n?1](n?1,2,3,???)时，3x?3?3?13n?3?13n?1?3?f(13n?1)，
而x?[0,1]，f?x?单调递增 ∴f(1)?3nf(13n?1) 所以，f(x)??1,ai?0
an?1an?1?an21f(n?13)?3x? 3 .
例50. 已知：a1?a2???an 求证：
a12
(i?1,2?n)
2a1?a2?a22a2?a3????anan?a1?12
an?1an?1?an2解析:构造对偶式：令A?
则A? ＝(a1又?2a12a1?a2?a22n2a2?a3????an2
an?a1B?a222a1?a2?2a23a2?a32???2aan?1?an2?a122
an?a122an?a1B?a1?a2a1?a22?a2?a3a2?a3???an?1?anan?1?an?
an?a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)?0,?A?B?12(ai?aj)2ai?ajai?aj1 （i,j?1,2?n)
2222222a?a3a?ana?a11a?a2?A?(A?B)?(1)?2???n?1?n22a1?a2a2?a3an?1?anan?a1
?14?(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)?(an?a1)??12
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在?a,b?上的可积函数f?x?????0，则bf?x?dx????0.
?a 例51.求证：? 解析:
ee?e?.
?lnee?0??e??ln?，∵ln????lnx??????ex??edx?0lne???e?lnx?d???x????e1?lnxx2dx，
x??e,??时，1?lnxx2，
??e1?lnxx2，
∴ln???lnee，?e?e?.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证：1?12?1xi?113???1n?2?n?1?1?，?n?1,n?N?.
解析: 考虑函数f?x??如图，显然n在区间?i,i?1??i?1,2,3,?,n?上的定积分.
1x1i?1i1i??1?n?i dx-①
对i求和，?i?1??i?1i?1i1xdx??n?11x1dx
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??2x???1n?1?2?n?1?11n?1?.
1?1n?3???12n?710 例53. 已知n?N,n?4.求证： 解析:考虑函数f?x??∵1n?i?.
n?211?x在区间?i?1?n?,i?n???i?1,2,3,?,n?上的定积分.
i?1n?11?in??ni?1n11?xdx-②
∴1?n?ini?1nnini?1n??i?11n?11?in???i?111?xdx??1011?x17dx???ln?1?x???0?ln2?.
10 例54. （2003年全国高考江苏卷）设a?0，如图，已知直线l:y?ax及曲线C：yC?x2，
上的点Q1的横坐标为a1（0?a1?a）.从C上的点Q?n?1?作直线平行于x轴，交直线l于点
n再从点Pn?1作直线平行于yPn?1，轴，交曲线C于点Qn?1.Q?n?1,2,?,n?的横坐标构成数列?an?.
n（Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； （Ⅱ）当a?1,a1?12n时，证明
n?(ak?1k?ak?1)ak?2?132；
（Ⅲ）当a?1时，证明?(ak?1k?ak?1)ak?2?13.
解析:an?a(a1a)2n?1（过程略）.
?12证明（II）：由a∵当k∴?(ank?1?1知an?1?an2，∵a1161161，∴a2?14,a3?116.
?1时，ak?2?a3?，
132k?ak?1)ak?2?116k?1?(ak?ak?1)?n(a1?an?1)?.
证明（Ⅲ）：由a?1知a∴(akk?1?ak2.
?ak?1)ak?2?(ak?ak?1)ak?1恰表示阴影部分面积，
2显然 ∴
nk(ak?ak?1)ak?1?2?akak?1xdx2④
nn?(ak?1?ak?1)ak?2??(ak?1k?ak?1)ak?1?2??k?1akak?1xdx2??a10xdx?213a1?313.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如： ①1i???i?11xi； dx?2?i?1?i?
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②1n?i?i?ni?1n11?xdx?ln?1???i?i?1?； ???ln?1??n?n??③sin?④(ai?sin?i?12?1?sin?i?1?ak?1)ak?1?2?sin?isin?i?111?x132dx??i??i?1；
k?akak?1xdx?2?a3k?ak?1?3.
十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 解析:
?13?1?13?2?1???13?2n?1?1?47
?17???13?2n?113?11128?13?2?11???13?247n?1?1?14?1?1128?13?22???13?2n?1
?13?41?12?4784?4884
? 例56. 设a 解析:
n?1?12a?13aa???1na1na,a?2.求证：an?2. 122an?1?12a?13????1??132???1n2.
又k2?1k2?k?k?k(k?1),k?2（只将其中一个k变成k?1，进行部分放缩），
?1k(k?1)122?1321k?1????1n21k，
12)?(122于是an?1???1?(1??13)???(1n?1?1n)?2?1n?2.
例57.设数列?an?满足an?1(i)an?n?2?an?nan?1?n?N?12?，当a1?3时证明对所有n?1, 有
；(ii)11?a1?11?a2???11?an?
?k?2 解析: (i)用数学归纳法：当n?1时显然成立，假设当n?k时成立即akn?k?1时
ak?1?ak(ak?k)?1?ak(k?2?k)?1?(k?2)?2?1?k?3，成立。
，则当
(ii)利用上述部分放缩的结论ak?1?2ak?1来放缩通项，可得
ak?1?1?2(ak?1)?a?1???2k?1(a?1)?2k?1?4?2k?1?k11ak?1?12k?1.
n?i?111?ain??i?112i?11n1?() 112???.1421?2 注：上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
ak?1?(k?2)(k?2?k)?1?k?3；证明(ii)就直接使用了部分放缩的结论ak?1?2ak?1
十三、三角不等式的放缩 例58.求证:|sinx|?|x|(x?R). 解析:(i)当x?0yPA时,|sin?2x|?|x|
(ii)当0?x?时,构造单位圆,如图所示:
OTBx 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
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