高中数学_复习时_常用的放缩技巧(5)

所以可以得到sinx? 当x?x?|sinx|?|x|

?2时|sinx|?|x|

有|sinx|?|x|

|sinx|?|x|

所以当x?0时sinx?x (iii)当x?0时, ?x?0,由(ii)可知: 所以综上有|sinx|?|x|(x?R)

十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明f(x)?只要证明

f(x)?A?B(B?0),其中BnA,

通过寻找分析,归纳完成.

1k?3.

例59.求证:对一切n(n?N*),都有解析:

k1k1k3?kk?1??1k(k?1)2?????(k?1)k(k?1)?11(k?1)k????k(k?1)??11k?1?k?1

?????1(k?1)k????k(k?1)??11k?1?k?1?1??k?1k?1????k?1?1k?1?2k?1

?1??k?n1k?11kk????k?1?11?1312k2?12?1k?114??131k?1?15

1k?11k?1221k1k?1从而

?k?1?1???????1????3

当然本题还可以使用其他方法,如:

? 1111?kk?k1k?1nk?1?k?k?k?1???k(k?1)?1???2?k?1k?k?1?1k?k?k?1???1?1k?1?1??k?

??2????1??k?

n 所以

?k?11kk?1??k?21kk?1?2(1?1k)?3.

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加

强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明A?f(x)?B,只要证明:A?C?f(x)?B?C(C?0,A?B). 例60.已知数列{an}满足:a 解析:

an21?1,an?1?an?1an,求证:

2n?1?an?3n?2(n?2).

?1???an?1?an?1?22?,从而an2?an?12?2,所以有 2??ak?1?2??22222an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?2(n?1)?1?2n?1,所以an?222n?1

又a

22n?1??a?n?1?an?1?22?,所以an2?an?12?3,所以有 2??ak?1?3??222222an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?3(n?1)?1?3n?2所以an?3n?2

21

所以综上有

2n?1?an?3n?2(n?2).

1an引申:已知数列{an}满足:a解析:由上可知a 从而

n1?1,an?1?an?,求证: ,所以1ann?ak?11k?2n?1.

2n?2n?1,又

2n?1?2n?1?22n?3?12n?1?2n?1?2n?3?2n?1?2n?3

?ak?11k?1?3?1?5?3???n2n?1?2n?3?2n?1(n?2)

又当n?1时,

1a1?1,所以综上有

?ak?11k?2n?1.

?0,a1?0,an?1?an?1?1?an(n?N)22? 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列?a?,ann.

记Sn(1)a?a1?a2???an,

Tn?11?a1?1(1?a1)(1?a2)???1(1?a1)(1?a2)?(1?an).求证:当n?N时.

?n?an?1;

(2)Sn?n?2;

★(3)Tn?3.

解析:(1)an?12?an2?1?an?1,猜想an?1,下面用数学归纳法证明:

(i)当n?1时,a1?1,结论成立; (ii)假设当n?k(k 从而ak?12?ak?1?2??1)时,ak?1,则n?k?1(k?1)时,ak?1?ak?1?1?ak22

an?1?1,所以0?ak?1?1

?1,故an?1?an?0?an?1?an

22 所以综上有0?an (2)因为an?12?an2相加后可以得到:

2?1?an?1则a2?a1?1?a2,a3?a2?1?a3,…, an?1?an?1?an?1222222,

an?1?a1?n?(a2?a3???an?1)?Sn?1?n?an?1222,所以

Sn?n?1?an?n?2,所以Sn?n?2

(3)因为an?12?an?1

1(1?a3)?(1?an)(1?an?1)1?1?an?2an,从而a2n?1?1?2anan?1,有

11?an?1?an?12an,所以有

?an?12an?an2an?1?a32a2?an?12?n?1,从而

?an?12n?1a21(1?a1)(1?a2)(1?a3)?(1?an)(1?an?1)1(1?a1)(1?a2)(1?a3)?(1?an)Tn?1?11?a2?a32?a422?an?12n?1,所以

a21?a2?12an2?n?2?anan2n21a21?a211?a2??1,所以

???12n?2???2n?2?1?122?25?1?1?1?3

所以综上有Tn?3.

22

例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列{an}的首项 (1)证明:对任意的x?0,a (2)证明:a?a2???an?na1?35,an?1?3an2an?1,n?1，，2?．

n≥11?x??2?,n?1，，2??n?x?(1?x)?3?12;

2.

?3nn1n?1 解析:(1)依题,容易得到a即证1?即证

21?x23nn2?3?1?23n,要证x?0,an≥11?x??2?,n?1，，2??n?x?(1?x)?3?12,

?11?x?n221?2??n??n?x?1?1??22(1?x)?3(1?x)?1?x3(1?x)21

n?2?3n3(1?x)2?23n?1?0,设t?11?x所以即证明?(t)??2?33n?t?2t?223n?1?0(0?t?1)

从而?(1)?0,即?2?33nn?2?23n?1?0,这是显然成立的.

1所以综上有对任意的x?0, (法二)

11?x1an≥1?x?2??2?n?1，，?n?x?(1?x)?3?12,

11?x??2?11?2??1?1??n?x??2?n(1?x)?3?1?x(1?x)?3221?x??

,?原不等式成立．

??21?1?1?1≤an???(1?x?)??an??an2????1?xa(1?x)a1?x(1?x)?a?nn?n?2 (2)由(1)知，对任意的x?0，有

a1?a2???an≥11?x??11?211?2?2??? ??x??????x???x??2?22?n(1?x)?31?x(1?x)?3?1?x(1?x)?3??12n1?x?22?2?．

??2???n?nx?(1?x)?333?12?取

2?1??1?n?1?222?3?3?1x???2???n???1?n?333?n?n?1??3??1???1?n?3??，

则

a1?a2???an≥n1?1?1??1?n?n?3??n2．

n?1?13n?n2n?1?原不等式成立．

十四、经典题目方法探究

探究1.(2008年福建省高考)已知函数最小值为bn,令anf(x)?ln(1?x)?x.若f(x)在区间[0,n](n?N*)上的

2an?1?1.

?ln(1?n)?bn.求证:a1?a1?a3???a1?a3?a5???a2n?1?a2a2?a4a2?a4?a6???a2n?nn 证明:首先:可以得到an (方法一)

.先证明1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n2?12n?1

1?33?5(2n?1)(2n?1)11?1?3?5???(2n?1)???2?2?4?6???2n??22?42???(2n)2n?12n?1?? 所以1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?12n?1?23,34

3?14?1452n?12n2n?1?12n?12n2n?1 (方法二)因为12?1?12?1??,?,??,相乘得:

23

1?1?3?5???(2n?1)??2?4?6???2n??2n?1??2,从而1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?12n?1.

,因为A12n?1 (方法三)设A=1?3?5???(2n?1),B=

2?4?6???2n2?4?6???2n3?5?7???(2n?1) 所以?1?3?5???(2n?1)???2?4?6???2n1??2n?1?2,从而1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?.

下面介绍几种方法证明a1a2?a1?a3a2?a42n?1?2n???a1?a3?a5???a2n?1a2?a4?a6???a2n?2an?1?1

(方法一)因为

121?32?42n?1?2n?1,所以

12n?1?2n?1?2n?1,所以有

????1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n??k?12k?1?2n?1?1

,所以

n (方法二)

n?2?n?2n?2?n,因为

1n?2?2n?2?1n?2?n?2?n

令n?2n?1,可以得到

121?32?412n?1,所以有

?2n?1?2n?1n????1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n??k?12k?1?2n?1?1

2n?1 (方法三)设a从而an?1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n,an?1?2n?2an所以2(n?1)an?1?an?1?(2n?1)an?an?1,

n?1?[2(n?1)?1]an?1?(2n?1)an,从而an?(2n?1)an?(2n?1)an?1

a1?a2?a3???an?(2n?1)an?(2n?1)an?1?(2n?1)an?1?(2n?3)an?2???5a2?3a1?(2n?1)an?32又an?12n?1,所以a1?a2?a3???an?2n?1?32?2n?1?1

(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当n?1时,左边=

13n?k?112k?1?2n?1?1

,右边=

3?1?23?1?13?12显然不等式成立;

(ii)假设n?k(k?1)时,

131512k?1k?i?112i?1?2k?1?1,则n?k?1时,

12k?3?????12k?3?2k?1?1?,所以要证明

k?1?i?112i?1?2k?3?1,只要

证明

2k?1?12k?3?2k?3?12k?3?2k?3?2k?1?12k?3?22k?1,这是成立的.

这就是说当n?k?1时,不等式也成立,所以,综上有

aa?aa?a?a???a?????2a?1?11131352n?1a2a2?a4a2?a4?a6???a2nn 探究2.(2008年全国二卷)设函数f(x)?求a的取值范围．

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sinx2?cosx.如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，

解析:因为f(x)? 设g(x)?f(x)?axsinx2?cosx,所以

f'(x)?cosx(2?cosx)?sin(cosx?2)22x?1?2cosx(cosx?2)2

,g(0)?0

,则

g'(x)?f'(x)?a?1?2cosx(cosx?2)2?a?cosx?2?cosx?2?1?2(cosx?2)2?a?2cosx?2?3(cosx?2)2?a 因为|cosx|?1,所以 (i)当a?1时,

32cosx?2?1?????1,?(cosx?2)3??23

f(x)≤ax恒成立.

g'(x)?0恒成立,即g(x)?g(0)?0,所以当a?1时,

3 (ii)当a?0时,f(?)?122?0?a?(?2),因此当a?0时,不符合题意.

(iii)当0?a?1时,令h(x)?sinx?3ax，则h?(x)?cosx?3a故当x??0，时,h?(x)?0. arccos3a?3 因此h(x)在?0，arccoas?3上单调增加.故当x?(0，arccos3a)时,h(x)?h(0)?0, 即sinx?.于是，当x?(0，3axarccos3a)时，

??,????3?f(x)?sinx2?cosx?sinx3?ax

所以综上有a的取值范围是?1

变式：若0?xi?arcco3sa,其中i?1,2,3,?,n

且0?a?tanx1213,x1?x2?x3???xn?arccos3a,求证:

x22?tanx32???tanxn2?3aarccos3a.

?tan证明：容易得到tanxi2?sinxicosxi?1?2sinxi2

由上面那个题目知道sinxi?3axi 就可以知道tanx12?tanx22?tanx32???tanxn2?3a2arccos3a

e?ax★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 (x) >1, 求 a的取值范围.

f(x)?1?x1?x.若对任意 x∈(0,1) 恒有 f

解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为f?(x)?ax2?2?a2(1?x)e?ax.

(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.

(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-一点, 比如取x?12a?2aa?2a,

a?2a)为减函数, 故在区间(0,

a?2a) 内任取

0, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.

(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有

f(x)?1?x1?xe?ax≥1?x1?x?1, 这时a满足要求.

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综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

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