难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．高等代数作为数学的基础学科，与初等数学有很多联系，参考文献【1】从数学知识、数学思想、数学观念三个方面讨论高等代数与初等数学的区别与联系．
2.1知识方面的区别与联系
初等数学讲多项式的运算法则而高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．
初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元次方程根的定义，复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一次方程根的特点，有理系数一元次方程有理根的性质及求法，一元次方程根的近似解法及公式解简介．
初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．初等数学中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．
初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中2点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的．
2.2思想方法方面的区别与联系
内容 抽象化思想 初等数学 小学从具体事物的数量中抽高等代数 用字母表示多项式、矩阵，开象出数字，开创了算术运算的时始研究具体的代数系统，进而又用期．中学用字母表示数，开创了字母表示满足一定公理体系的抽在一般形式下研究数、式、方程象元素，开始研究抽象的代数系统的时期． 化无理方程为有理方程，化—向量空间、欧氏空间． 在通过按行按列展开，将阶数
化归分式方程为整式方程，化三元一较高的行列式化为阶数较低的行思想 次方程组为二元一次方程组直至列式；通过选定基，将向量之间的一元一次方程，通过化归矩形推关系转化为向量坐标之间的关系，导平行四边形面积公式，这些都将线性变换的研究转化为矩阵的用到化归思想． 思想 思想 现代数学通过3种数学结构中学按概念对研究的对象分分类类． 研究． 高等代数除按概念分类，按元素间的等价关系分类，利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等等． 从负数到负多项式、负矩阵再结构将数学各分支联系成一个整到负元素，从数的运算律到集合、体．中学数学与高等代数都用现多项式、矩阵的运算律再到代数系代数学的观点和语言组织教材． 在中学数学中，由分数的性统的运算律． 由整数整除理论类比推理数类比质类比推理分式的性质；由2直域F上的多项式的整除理论；由直推理线的位置关系类比推理2平面的角坐标系下，几何向量的长度、夹思想 严格位置关系；由直角三角形的勾股角、内积、距离公式类比推理规范定理类比推理具有3直角顶点四正交基下，n维欧氏空间中向量的面体的勾股定理． 中学数学中严格的定义较长度、夹角、内积、距离公式． 首先给出严格的定义，然后从的逻少，定理和习题的推理过程较短，定义出发，通过严密的逻辑推理，辑推几何问题的推导还常常借助直观得出性质、定理、推论，直至建立理方图形． 法 中学平面几何将利用直觉经由实质公理化方法到形式公公理验不证自明的少数命题和推导原理化方法体现了公理化方法的发化方则作为公理，由此出发推证出大展． 法 方法 变换
完整的理论体系． 量新的命题，这已用到实质公理化方法． 中学数学通过数轴建立了直建立了平面上点的坐标． 中学数学学过线性方程组的 通过向量空间的基建立了向了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式． 将这些同解变换转换成矩阵坐标线上点的坐标，通过平面坐标系量空间中各种向量的坐标，推导出
方法 同解变换． 的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法矩阵的初等变换法． 高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识构造的思想方法却是一脉相承的．只是由于中学数学的知识较浅，内容较性方窄，对思想方法的巨大作用体现不深而已．通过学习高等代数等近、法 现代数学课程，从而深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强．而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的． 2.3观念方面的区别与联系
在初等数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发展．关于数学研究的对象，由初等数学研究的数、代数式、方程、函数等内容，初等几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用．但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．
第三章 多项式理论在初等数学中的应用
3.1去重因式分解多项式
引理3.1【2】 若一个多项式有重因式，比如
k2f(x)?a0p1k1(x)p2(x)?pkn(x)
pi(x)在数域F上不可约，i?1,2,?n)则可求与的最大公因式．
分析：我们利用以上的引理，令F(x)=f(x)k2?a0p1k1(x)p2(x)?pkn(x)，其中d(x)是最大公因式，则分解可转化为分解,一方面与有相同的不可约因式，另一方面一般情况下次数低于的次数。当然就降低了分解的难度．
例3.1.1 求多项式f(x)?x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解式．
解 ： ?(f(x),f'(x))?x3?3x2?3x?1?
得 g(x)?f(x)/(f(x),f'(x))?x2?3x?4． 所以的不可约因式为．
但是由重因式定理，是 的4重因式， 所以．
3.2 利用因数定理分解多项式
引理3.2【3】 是的因式的充分必要条件是=0亦即是的因式，c 是的根，并且 c 是的几重根，就是的几重因式．
这样只要求出的若干个根，就可得到的若干个因式，用除以这若干个因式的积，得到商式，分解就转化为分解商式，达到“降次”分解的目的．
分析：引入新变量代替多项式中某些变量，使原多项式变为新变量的多项式，这种方法叫做换元法．通过换元，使关于新变量的多项式次数较原多项式次数小，达到降次分解的目的．
例3.2.1 求f(x)?x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解式．
解 ?的首项系数1的因子有，常数项的因子有
故的根有可能是将其代入逐一检验，得出和是?的有理根．不妨设利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类f(x)?(x?1)(x?4)(x3?ax2?bx?1)，项，得
f(x)?x5?(a?3)x4?(b?4?3a)x3?(1?3b?4a)x2?(?3?4b)x?4
与进行逐项比较，得．
所以，f(x)?(x?1)(x?4)(x3?3x2?3x?1)?(x?1)4(x?4)．
换元法是一种重要的数学思想方法，通过换元可以使隐蔽的数量关系明朗化，从而达到化难为易、化繁为简．在因式分解中，尤其对倒数多项式更为有效．
3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式
对称多项式都是轮换多项式，所以只讨论轮换多项式的分解即可．分解轮换多项式就是选定一个元为主元，将其它元看成常数，原多项式就被看成是关于主元的多项式．利用因式定理知，求出一个根即可得到一个因式，利用轮换多项式的性质，求出一个元为文字的多项式的根，即可得关于其它元作为主元的根，从而得到几个相应的因式，达到降次分解的目的．
3.4多项式的一些应用
多项式理论是高等代数的主要内容之一,它与中学数学有着密切的联系.它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题,如多项式的根及因式分解理论,对中学数学解题有居高临下的作用.
例2.4.1 多项式f(x)?x4?5x3?4x2?3x?17当时,求此多项式的值. 解 将条件等式变形为,由1|f(x),所以|.由多项式的除法,得
f(x)?(x2?x)(x2?4x)?3x?17,在将代入上式,
可得.
例2.4.2 已知为整数,且满足与均为整数, 求证.
证明： 设 .