abcacb于是 f(x)?x3?(??)x2?(??)x?1
bcacba由已知条件知是首项系数为1的整系数多项式,是它的三个有理根,于是均为整数,又因为它们的乘积为1,所以,故.
第四章 行列式在初等数学中的应用
4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性
实系数二元二次多项式Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F在复数域内是否可以分解因式,是初等代数学的一个重要问题．它不仅关系到因式分解,而且关系到:方程
Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示曲线的类型及解二元二次方程;能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性;
定理4.1【4】:对于实系数二元二次多项式Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F在复数范围内可分解的充要条件是: ．
证明: Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F可以分解成两个一次因式的充要条件是二的二次三项式Ax2?(By?D)x?Cy2?Ey?F的判别式是一个完全平方式,即
(By?D)2?4A(Cy2?Ey?F)是完全平方式．而
(By?D)2?4A(Cy2?Ey?F)
=B2y2?2BDy?D2?4ACy2?4AEy?4AF =(B2?4AC)y2?(2BD?4AE)y?(D2?4AF)
上式是完全平方式的充要条件是它的判别等于O,即
(2BD?4AE)2?4(B2?4AC)(D2?4AF)?0
展开整理,即:
4ACF?BDE?AE2?B2F?CD2?0即 证毕．
例4.1.1 n为何值时,方程x2?xy?2y2?mx?4my?2m?0表示两条直线．
解:要使方程x2?xy?2y2?mx?4my?2m?0表示两条直线,只须使多项式
x2?xy?2y2?mx?4my?2m?0可分解为两个二元一次因式之积,故只须使;
即 或
4.2应用行列式分解因式
例4.2.1分解因式:bc3?ab3?a3c?ba3?cb3?ac3
333?ab?a?c解 ： bc3ba?3c?b ac0 a?c a3?c3?1 b?c b?c ?1 c c ?333 a?c a3?c3 b?c b?c 33
a?c (a?)c(2a?a?c2)c b?c (b?)c(b?b?c22?(a?c)(b?c))c 1 2 b?2 1 a?2a?cb?c2
cc ?(a?c)(b?c)(b2?a2?bc?ac)
?(a?c)(b?c)(b?a)(a?b?c)
分析：通过以上例子应用行列式分解因式,可先作出一个行列式使其值等于所给多项式,然后对行列式进行行变换或列变换,使之某一行或某一列元素完全相同,然后降阶展开从而达到因式分解之目的．
4.3应用行列式解决数列问题
行列式在数学各分支中有广泛应用，但在中学数学教学中引入较晚，因此其作用显得不甚突出，其实它在许多方面是有用的工具． 定理4.3【4】 设是等差数列中的任意三项，则．
（1）证 设的公差为，则由等差数列通项公式知是直线上的点，从而由三点共线知（1）成立．
定理3.3.2【4】 若为等差数列的第项，则也是一个等差数列的第项的从要条件是． （2）证 设、的公差分别为，且及均为第项，则
am bm 1ar br 1a1?(m?1)d b1?(m?1)d' 1a1?(r?1)d b1?(r?1)d' 1(m?1)d (m?1)d' 1(r?1)d (r?1)d' 1an bn 1?a1?(n?1)d b1?(n?1)d' 1?(n?1)d (n?1)d' 1?0． 反过来，如果是等差数列的第项，且． 即
(m?1)d mb 1(r?1)d rb 1am mb 1 1． 1n?1d) nb 1?a nb 故 0?(na r br因由定理1知是一个等差数列的第项． 例4.3.1 在等差数列中，已知分别为，求证：
(r?s)ab?(s?t)bc?(t?r)ac?0．
证 由定理1有 ．
展开得(t?s)a?1?(r?t)b?1?(s?r)c?1?0． 整理及得(r?s)ab?(s?t)bc?(t?r)ac?0． 例4.3.2 在等差数列中，，（1）求；（2）第几项是62？ 解 （1）由 解得．
（2）由 解得，即26项为64．
例4.3.2 依次组成等差数列，求证也依次组成等差数列． 解 设的公差为，则
a b?c 1b b2?ac 1?b b2 1?b a?c 1 c c2?ab 1c c2 1c a?b 1b?d (b?d)2 1b?d (b?d)2 1b?d b(b?d) 1b?d (b?d)b 1?d bd 1a a2?bc 1a a2 1?b b2 1?b (b?d)(b?d) 1
?d ?2bc?d2 1?0 0 1?0 ?d2 1 d ?2bc?d2 1d ?db 1
0 2d2 1d 2bc?d2 12d2 10 10 2?d 120 0 2d ?db 1?0 0 1?0 ?d2 1
?d?d?2d3?2d3?0
由定理3知，也成等差数列．
从上述几个例子看出，直接用行列式解数列问题不但解法简捷、而且思路清晰、规律性强、易掌握，向学生介绍这种方法，即有助于他们解题能力的提高、又有助于数学知识综合运用．
第五章 线性方程组在初等数学中的应用
5.1 在平面解析几何上的应用
定理5.1【5】 设平面上有两条直线与，则：
（1） 相交：即两条直线有一个公共点，线性方程组有唯一解，从而其系数行列
式．
（2） 平行:即两条直线无公共点,上式无解,从而有而至少有一个不为0． （3） 重合:即两条直线有无数公共点,上式有无穷多个解,从而
a1 b1a2 b2?a1 c1a2 c2?b1 c1?0． b2 c2利用线性方程组理论判断平面上两条直线的位置关系:相交、平行、重合． 例5.1.1 求过两点的直线方程．
解:方法一:由公式求解．由两点式方程可知直线的方程为: 方法二:由线性方程组理论求解．设直线方程为，则方程组
有非零解,即其系数行列式化简求解即有．
5.2在空间解析几何中的应用
定理5.2【5】 设空间中有两条直线
l1:x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2其中 ??与l2:??X1Y1Z1X2Y2Z2，分别是上的点,分别是的方向向量． (1) 异面:即向量,．
(2) 相交:即方向向量与不共线,且向量． ．
(3) 平行:即向量与共线,且向量与,都不共线,
．
(4) 重合:即向量, ,都共线,
．
同样,利用线性方程组理论也可以判断空间两条直线的位置关系:异面、相交、平行、重合．
例5.2.2:求过点与平面：平行且与直线
相交的直线的方程．
解:设直线的方向向量为,由直线的方程知的方向向
,且过点．由与相交,因此,即
．
展开得又与平行,所以:,联立得方程组:
．
求解,令Z为自由未知量,取Z =1,求得X=0,Y =0,故所求直线的方程为: ．
5.3在求解二元方程组上的应用
齐次线性方程组理论的一个重要结论是：齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零．利用这一结论也可以求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可． 例5.3.1:求方程组的全部解．