第一章 晶体结构
1、试说明空间点阵和晶体结构的区别。 答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
6、Si具有金刚石结构，其原子间距为0.235nm，原子量为28，计算的Si密度。 解：Si为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长度为L=0.235×4=0.94nm；
金刚石结构的晶胞边长为a?l2/3?0.5427nm 晶胞的体积为v?a3?0.159846nm3
每个晶胞包含8个原子则1摩尔（28克）包含的晶胞数目为N=0.752875×1023，对应体积为V=Nv=12.0344cm3，密度为m=28/V=2.327克/cm3
第二章 晶格动力学
1、什么是简谐近似？为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气体？ 解：1当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。
2简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休．考虑到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞．这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻．
2 、什么是晶格振动的光学支和声学支？长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
答：1离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。
2长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3 、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？
解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原
子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中t＝1，2，3?。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。
4、一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m 解： 5、在一维双原子链中，如M/m??1，（1）求证： ?1?2?sinqa； ?2?M2?m(1?cos2qa)2。 mM1（2）画出?与q的关系图（设M/m?10）。 解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n?1个原子的运动方程为 ?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2 ? ??????（1） 2dx2n?1?M??(x2n?x2n?2?2x2n?1)2?dt?为解方程组（1）可令 ?x2n?Aei[(2n)qa??t] ? ???????（2） i[(2n?1)qa??t]?x2n?1?Be将（2）式代入（1）式可得出 2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm ? ???????（3） 2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M?M从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 ??2(可解出得 4?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0 ?2?(?M??m)?(?M??m)2?4??Mm? sin2qa ?????（4） 当（4）式中取“－”号时，有 ?1?2?(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)? ?????（5） ?1?(1?2(M?m)??∵M/m??1，∴（5）式中有 ?(M?m)Mm??MMm??m， 4Mm4Mm24m22sinqa?sinqa?sinqa??1 M(M?m)2M2那么（5）式可简化为 1???4m214m2?2?sinqa)2???1?(1??sinqa)??sin2qa ???1?(1?m?M2M?M?m?21?? ∴?1?2?sinqa M12当（4）式中取“＋”号时，有 2?2??(M?m)Mm???(M?m)?Mm??4Mm2（6） 1?cosqa?? ?????2(M?m)???∵M/m??1，∴（6）式中有 ?(M?m)Mm??MMm?m， ?(M?m)Mm?MMm?m 4Mm4Mm4m222cosqa?cosqa?cosqa??1 22M(M?m)M那么（6）式可简化为 4m??14m2?m ???(1?co2sqa)2??(1??co2sqa)?(1?co2sqa) mmMmm2MmM22??1 ∴?2?2?m(1?cos2qa)2 mM1 （2）当M/m?10时，则（4）式可化为 11?121?22?22????sinqa 2210m100m5m2此时，?与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示： ω11?/5m 2?/m ?/5m ?/5m??a??2aO ?2a?aq图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线 6、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界q???2a处，声学支格波中所有 轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。2)q→0,声学支和光学支格波分别有什么特点？ 解：设第2n个原子为轻原子，其质量为m，第2n?1个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为 ?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2 ? ???????（1） 2?Mdx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)?dt2?为解方程组（1）可令 ?x2n?Aei[(2n)qa??t] ? ???????（2） i[(2n?1)qa??t]x?Be?2n?1将（2）式代入（1）式可得出 2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm ? ???????（3） 2?2???(cosqa)A?(??2)B?0M?M从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 ??2(可解出得 2???(4?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0 ?M??m)?(?M??m)2?4??Mm? sin2qa ?????（4） 令q???2a，则可求得声学支格波频率为???2?2?，光学支格波频率为??? Mm由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为 A2?cosqa/m??0 B2?/m?2?/M由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。 而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为 B2?cosqa/M??0 A2?/M?2?/m由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。 2）声学支格波特点：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动 。