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??????????i,角顶B点的波矢为KB???i???j.a?a??a?2x2?Ky?Kz2?,
第一布里渊区如图所示：
区边中点的波矢为KA?2自由电子能量??2?K2m??????2A点能量?A?Kx??????,
2m2m?a?2m?a?222x2y2222
22?????2???2?????B点能量?B?K?K????????????2???,所以?B/?A?2
2m2m???a??a???2m???a???b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为A???2??a???2?i,B?????a???2?j,C?????a???k, ?第一布里渊区如图7—2所示．
???A点能量?A????;2m?a?22222????????????????222B点能量?B??Kx?Ky?Kz??2m???3???, ?????????2maaa2m?????????????a???2222所以?B/?A?3
8、证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其s态电子的能带为E(k)?Emin?4Jsin(ka/2)。式中：Emin为能带底部的能量；J为交叠
2积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。
解：设s态的原子能级为?s，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为
E(k)??s?J0?上式中J0??2Rs?近邻?J(Rs)e?k?Rs
??i(ξ)[U(ξ)?V(ξ)]dξ?0，
?* J(Rs)???i(ξ?Rs)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0（其中U(ξ)表示晶体中的周
期性势场，也即各格点原子势场之和。V(ξ)为某格点的原子势场）
由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。
在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为ai和?ai，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为：
E(k)??s?J0?J(e?ka?eka)??s?J0?2Jcoska ??s?J0?2J?4Jsin2(ka/2)
*上式中J?J(ai)?J(?ai)???i(ξ?ai)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0
?由此可知，当k?0时，即能带底的能量为Emin??s?J0?2J；当k??顶的能量为Emax??s?J0?2J
于是可证得一维单原子链的s态电子能量为 E(k)?Emin?4Jsin(ka/2)
并且还可得能带宽度为?E?Emax?Emin?4J
2?a，即能带
d2E?2?由此还可求得有效质量m(k)??/ dk22a2Jcoska*2?2于是可求得能带顶部的电子有效质量m?m(?)?? 2a2aJ**??2能带底部的电子有效质量m?m(0)?。
2a2J**9、用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为
E(k)?E0?A?4J(coskyakyakxakakakacos?coscosz?coszcosx) 222222并求能带底部电子的有效质量。
解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能
带E(k)的表达式可写为
E(k)?E0?A?Rs?近邻?Je?k?Rs
上式中E0??s，A????(ξ)i2[U(ξ)?V(ξ)]dξ?0，
* J??i(ξ?Rs)[U(ξ)?V(ξ)]?i(ξ)dξ?0（其中U(ξ)表示晶体中的周期性势
?场，也即各格点原子势场之和；V(ξ)为最近邻格点的原子势场；Rs为最近邻格点的位矢）。
对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为
aaaaaaaa，，0），（，?，0），（?，，0），（?，?，0） 22222222aaaaaaaa（，0，），（，0，?），（?，0，），（?，0，?） 22222222aaaaaaaa（0，，），（0，，?），（0，?，），（0，?，?）
22222222（
将上述的12套坐标值代入上述的E(k)的表达式，可得
E(k)?E0?A?J{[e ?[e ?[eai(kx?kz)2ai(ky?kz)2ai(kx?ky)2?ea?i(kx?ky)2ai(kx?kz)2ai(ky?kz)2?eai(kx?ky)2?e]
a?i(kx?ky)2]
?e?ea?i(kx?kz)2a?i(ky?kz)2?e?ea?i(kx?kz)2a?i(ky?kz)2?e?e]}
aaa(kx?ky)?cos(kx?ky)?cos(kx?kz) 222aaa ?cos(kx?kz)?cos(ky?kz)?cos(ky?kz)]
222 ?E0?A?2J[coskyakyakxakakakacos?coscosz?coszcosx) ?E0?A?4J(cos222222由于J?0，所以当kx?ky?kz?0时，E(k)有最小值Emin?E0?A?12J，即为能带底部。
选取kx，ky，kz轴沿张量主轴方向，则有mxy?myx?mxz?mzx?myz?mzy?0，而在能带底部有
m*xx******?2E??/?2?kx2?2?2
??kyakxakxakza2Ja22?Ja(coscos?coscocsos)2222
2m*/yy???2E?2?ky?2?2??kyakyakxakza2Ja22?Ja(coscos?coscocsos)2222
m*zz?2E??/?2?kz2?2?2
??kyakxakzakza2Ja22?Ja(coscos?coscocsos)2222