亭湖高级中学2015届高三数学周练十
命题：徐福海 审核：王晓峰
一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1?1.函数y?2tan(x?)的最小正周期是 ▲ ．
231．2?
2．已知函数f(x)?logax(a?0,a?1)，若f(2)?f(3)，则实数a的取值范围是__▲__． 2.a?1
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的▲ (充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件) 3. 充分而不必要条件
4. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a?b =▲ 4. 1
5．由命题“存在x?R，使e数a的值是 ▲ 5.a?1
x≥0，?tanx，6. 若函数f(x)??则f2f3π4?log2(?x)，x?0，|x?1|?m?0”是假命题，得m的取值范围是(??,a)，则实
????? ▲ .
6.0科网
uuruuur7. 在菱形ABCD中，若AC?4,则CA?AB? ▲ .
7.－8
8．函数f(x)?(|x|?1)(x?a)为奇函数，则f(x)增区间为 ▲ .
8.???,??,?,???
229．已知?ABC的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则?ABC的面
积为_____▲______ 9.153
10．在等式cos(?)(1?3tan10?)?1的括号中，填写一个锐角，使得这个等式成立，这个锐角的角度是 ▲ .
0??1??1????10. 40 11. 函数
?f(x)?mx2?x?1在(0,1)内恰有一个零点，则实数m的取值范围是 ▲ .
11.(2,??)
12．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，
则a1＝ ▲ 12.
1 4浙江理
17）设e1,e2为单位向量，非零向量
13. （13
b?xe1?ye2,x,y?R,f(x)?mx2?x?1，若e1,e2的夹角为
___▲_____ 13.2
|x|?，则的最大值等于6|b|2??2kx?k,x?0,14.(09浙江)设函数q(x)??2，其中k?R，若对任意给定的2??3x?2(k?k?1)x?5,x?0非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2?x1），使得q(x2)?q(x1).则k= ▲ 答案：5
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程
或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.（本小题满分14分）（如东检测）若函数f(x)?x2?2，g(x)?4x?1的定义域都是集合
A，函数f(x)和g(x)的值域分别为S和T.
（1）若A??1,2?，求S?T；
（2）若A??0,m?，且S?T，求实数m的取值范围；
（3）若对于A中的每一个x值，都有f(x)?g(x)，求集合A． 15.解：（1）由题意可得，S??3,6?，T??3,7?，所以ST??3,6?；????????4分
2（2）由题意可得，S???2,m?2??，T???1,4m?1?，
因为S?T，所以m2?2?4m?1，所以m2?4m?3?0
可得1?m?3 ????????????????????9分 （3）因为f(x)?g(x)，所以x2?2?4x?1，可得x?1或x?3。
所以A??1?或A??3?或A??1,3?． ???????????14分 16. （本小题满分14分） 设函数f(x)?sin(2x+ (1). 已知x??0,?6）+cos2x+3sinxcosx.
???，求函数f(x)的值域； ??2?1C5,f()=，求sinA. 322311?cos2x316.解：（1）f(x)?sin2x?cos2x??sin2x
22221?1 ＝3sin2x?cos2x?＝2sin(2x?)?
2625 所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为?。
2c?15?（2）f()=2sin(C?)?=, 所以sin(C?)?1,
26226?又C为?ABC的内角 所以C?,
3213, 所以 又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sinB?33 (2). 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?17. (本题满分14分)（盐中10月考）
211322?3 2????32326设公比大于零的等比数列?an? 的前n项和为Sn，且a1?1，S4?5S2，数列?bn?的前n项和为Tn，满足b1?1，Tn?n2bn，n?N． （Ⅰ）求数列?an?、?bn?的通项公式；
（Ⅱ）设Cn?(Sn?1)(nbn??)，若数列?Cn?是单调递减数列，求实数?的取值范围． 17.解：（Ⅰ）由S4?5S2，q?0, 得 q?2,an?2n?1
2?bnn?1?Tn?nbn??又?（n?1)， 2bn?1n?1??Tn?1?(n?1)bn?1?则得
bnbn?1bn?2bn?1n?2n?3212 ?????2????????bn?1bn?2bn?3b1n?1nn?143n(n?1)2，当n?1时也满足．
n(n?1)n所以bn?
（Ⅱ）Tn?2n?1，所以Cn?2(2??)，使数列?Cn?是单调递减数列， n?142???)?0对n?N?都成立， n?2n?14242????0???(?)max， 即
n?2n?1n?2n?1422n2， ???2n?2n?1(n?1)(n?2)n?3?n1421?)max?,所以??． 当n?1或2时，(3n?2n?13则Cn?1?Cn?2(n
18. (本题满分16分)如图，AB是沿太湖南北方向道路,P为太湖中观光岛屿, Q为停车场，PQ?5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游A船以13km/h的速度沿方位角?的方向行驶，sin??5．游船离13Q开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是a，出租汽车的速度为66km/h．
4(Ⅰ)设sina?，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游
5船同时到达点Q；
(Ⅱ)设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角a，当角a余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．
18．解：(Ⅰ) 如图，作PN?AB,N为垂足．
?P?MB（第18题）
?PQM??，?PMQ????,sin??在Rt△PNQ中，
54，sina?，
513AQ5PN?PQsin??5.2??2(km),
13QN?PQcos?=5.2?在Rt△PNM中， MN?12?4.8(km)． 13PN2??1.5(km) ．?????????3分 tana43?P?MNB设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1 km/h，则 26PQ2t1??5?(h),
13135t2?PMMQ2.53.351?????（h）． ?????????5分 v166v1662v1205112125???，∴v1?．?????????7分 ?t1，
2v120205203 由已知得：t2?∴小船的速度为
25km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q． ????..8分 3(Ⅱ)在Rt△PMN中，
PM?PN2PN2cosa(km),MN?(km)． ??sinasinatanasina2cosa(km)． ?????????10分 sina∴QM?QN?MN?4.8?∴t?PMQM14cosa133?5cosa4＝．???????12分 ??????10665sina5533sina165sina5515sin2a?(33?5cosa)cosa5?33cosa∵t??, ???????14分 ??165sin2a165sin2a5∴令t??0得：cosa?．
33当cosa?55时，t??0；当cosa?时，t??0． 3333p∵cosa在a?(0,)上是减函数，
2∴当方位角a满足cosa?5时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．?16分 3319. (本题满分16分
已知函数f(x)?(x2?3x?3)ex,x?[?2,a],a??2，其中e是自然对数的底数． （1）若a?1，求函数y?f(x)的单调区间；
13 （2）求证：f(a)?2；
e（3）对于定义域为D的函数y?g(x)，如果存在区间[m,n]?D，使得x?[m,n]时，y?g(x)的值域是[m,n]，则称[m,n]是该函数y?g(x)的“保值区间”． 设h(x)?f(x)?(x?2)ex,x?(1,??)，问函数y?h(x)是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由． 19．解：（1）f?(x)?(x2?x)ex?x(x?1)ex,x?[?2,a],a??2，
x (??,0) (0,1) (1,??) f?(x) ? ? ? ???2分
由表知道：
①?2?a?0时，x?(?2,a)时，f?(x)?0，[]
?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,a)； ???3分
②0?a?1时，x?(?2,0)时，f?(x)?0，x?(0,a)时，f?(x)?0，
?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,0)，单调减区间为(0,a)；???4分
（2）证明：f(a)?(a2?3a?3)ea,a??2
f?(a)?(a2?a)ea?a(a?1)ea,a??2，
a (?2,0) (0,1) (1,??)