19. (本小题满分16分已知函数f(x)?(x2?3x?3)ex,x?[?2,a],a??2，其中e是自然对数
的底数．
（1）若a?1，求函数y?f(x)的单调区间；
13 （2）求证：f(a)?2；
e（3）对于定义域为D的函数y?g(x)，如果存在区间[m,n]?D，使得x?[m,n]时，y?g(x)的值域是[m,n]，则称[m,n]是该函数y?g(x)的“保值区间”．设
h(x)?f(x)?(x?2)ex,x?(1,??)，问函数y?h(x)是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分16分）已知数列?an?单调递增，且各项非负，对于正整数K，若对任意i，j (1?i?j?K)，ai?aj 仍是?an? 中的项，则称数列?an?为“K项可减数列”。 （Ⅰ）已知数列?bn?是首项为2，公比为2的等比数列，且数列?bn?2?是“K项可减数列”，试确定K的最大值。
（Ⅱ）求证：若数列?an?是“K项可减数列”，则其前n项的和Sn?nan(n?1,2,.....,K) 2（Ⅲ）已知?an?是各项非负的递增数列，写出（Ⅱ）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由。
亭湖高级中学2015届高三数学周练十答案
1．2?;2.a?1 ;3. 充分而不必要条件; 4.1 ;5.a?1; 6.0;7.－8;
11??1???8.???,??,?,??? 9.153 ;10. 40;11.(2,??) ;12.4 13.2;14.5
2??2??15.解：（1）由题意可得，S??3,6?，T??3,7?，所以ST??3,6?；????????4分
2（2）由题意可得，S??2,m?2???，T???1,4m?1?，
因为S?T，所以m2?2?4m?1，所以m2?4m?3?0
可得1?m?3 ????????????????????9分 （3）因为f(x)?g(x)，所以x2?2?4x?1，可得x?1或x?3。
所以A??1?或A??3?或A??1,3?． ???????????14分
311?cos2x3sin2x?cos2x??sin2x 22221?1 ＝3sin2x?cos2x?＝2sin(2x?)?
2625 所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为?。
2c?15?（2）f()=2sin(C?)?=, 所以sin(C?)?1,
26226?又C为?ABC的内角 所以C?,
3213, 所以 又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sinB?3316.解：（1）f(x)?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?211322?3 2????3232617.解：（Ⅰ）由S4?5S2，q?0, 得 q?2,an?2n?1
2?bnn?1?Tn?nbn??又?（n?1)， 2bn?1?n?1?Tn?1?(n?1)bn?1则得
bnbn?1bn?2bn?1n?2n?3212?????2???????? bn?1bn?2bn?3b1n?1nn?143n(n?1)2，当n?1时也满足．
n(n?1)
所以bn?（Ⅱ）Tn?2n?1，所以Cn?2(2??)，使数列?Cn?是单调递减数列， n?142n???)?0对n?N?都成立， 则Cn?1?Cn?2(n?2n?14242????0???(?)max， 即
n?2n?1n?2n?1422n2， ???2n?2n?1(n?1)(n?2)n?3?n1421?)max?,所以??． 当n?1或2时，(3n?2n?13n18．解：(Ⅰ) 如图，作PN?AB,N为垂足．
?PQM??，?PMQ????,sin??在Rt△PNQ中，
54，sina?，
513AQ5PN?PQsin??5.2??2(km),
13QN?PQcos?=5.2?在Rt△PNM中，
12?4.8(km)． 13PN2MN???1.5(km) ．?????????3分
tana43?P?MNB设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1 km/h，则 26PQ2t1??5?(h),
13135t2?PMMQ2.53.351?????（h）． ?????????5分 v166v1662v1205112125???，∴v1?．?????????7分 ?t1，
2v120205203 由已知得：t2?∴小船的速度为
25km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q． ????..8分 3(Ⅱ)在Rt△PMN中，
PM?PN2PN2cosa(km),MN?(km)． ??sinasinatanasina2cosa(km)． ?????????10分 sina∴QM?QN?MN?4.8?∴t?PMQM14cosa133?5cosa4＝．???????12分 ??????10665sina5533sina165sina5515sin2a?(33?5cosa)cosa5?33cosa∵t??, ???????14分 ??22165sina165sina5∴令t??0得：cosa?．
33当cosa?55时，t??0；当cosa?时，t??0． 3333p∵cosa在a?(0,)上是减函数，
2∴当方位角a满足cosa?5时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．?16分 3319．解：（1）f?(x)?(x2?x)ex?x(x?1)ex,x?[?2,a],a??2，
x (??,0) (0,1) (1,??) f?(x) ? ? ? ???2分
由表知道：
①?2?a?0时，x?(?2,a)时，f?(x)?0，[]
?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,a)； ???3分
②0?a?1时，x?(?2,0)时，f?(x)?0，x?(0,a)时，f?(x)?0，
?函数y?f(x)的单调增区间为(?2,0)，单调减区间为(0,a)；???4分
（2）证明：f(a)?(a2?3a?3)ea,a??2
f?(a)?(a2?a)ea?a(a?1)ea,a??2，
a (?2,0) (0,1) (1,??) f?(a) ? ? ? [f(a)]极小值=f(1)?e ???6分 5()3?1313e?13 f(1)?f(?2)?e?2??22?0 2eee ?f(1)?f(?2) ???7分 由表知：a?[0,??)时，f(a)?f(1)?f(?2)， a?(?2,0)时，f(a)?f(?2)，
13 ?a??2时，f(a)?f(?2)，即f(a)?2； ???8分
e（3）h(x)?f(x)?(x?2)ex?(x2?2x?1)ex,x?(1,??)，
3 h?(x)?(x2?1)ex,x?(1,??)， ?x?(1,??)时，h?(x)?0，
?y?h(x)在(1,??)上是增函数， ???9分 ?n?m?1? 函数y?h(x)存在“保值区间”[m,n]??h(m)?m
?h(n)?n? ?关于x的方程h(x)?x在(1,??)有两个不相等的实数根，???11分 令H(x)?h(x)?x?(x2?2x?1)ex?x,x?(1,??)， 则H?(x)?(x2?1)ex?1,x?(1,??)，
[H?(x)]??(x2?2x?1)ex,x?(1,??)
x?(1,??)时，[H?(x)]??(x2?2x?1)ex?0， ?H?(x)在(1,??)上是增函数，
H?(1)??1?0,H?(2)?3e2?1?0，且y?H?(x)在[1,2]图象不间断， ??x0?(1,2),使得H?(x0)?0， ???13分 ?x?(1,x0)时，H?(x)?0，x?(x0,??)时，H?(x)?0，
?函数y?H(x)在(1,x0)上是减函数，在(x0,??)上是增函数， H(1)??1?0，?x?(1,x0],H(x)?0，
?函数y?H(x)在(1,??)至多有一个零点，
即关于x的方程h(x)?x在(1,??)至多有一个实数根， ???15分 ?函数y?h(x)是不存在“保值区间”． ???16分 （其它解法参照上述评分标准给分） 20．(Ⅰ) 解:设cn?bn?2?2n?2,则c1?0,c2?2,c3?6,
易得c1?c1?c1,c2?c1?c2,c2?c2?c1, 即数列?cn?一定是“2项可减数列”?2分 但因为c3?c2?c1,c3?c2?c2,c3?c2?c3,所以K的最大值为2????????4分 (Ⅱ)证明:因为数列?an?是“K项可减数列”,所以aK?at(t?1,2,???,K)必定是数列
?an?中的项,
而?an?是递增数列,aK?aK?aK?aK?1?aK?aK?2?????aK?a1,
所以必有aK?aK?a1,aK?aK?1?a2,aK?aK?2?a3,???,aK?a1?aK?????6分 故a1?a2?a3?????aK?(aK?aK)?(aK?aK?1)?(aK?aK?2)?????(aK?a1)
?KaK?(a1?a2?a3?????aK), 所以SK?KaK?SK,即SK?KaK????8分 2又由定义知,数列?an?也是“t项可减数列”的(t?1,2,???,K?1),
nan(n?1,2,???,K)???????????????????? 9分 2n(Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命题为:若数列?an?满足前n项的和Sn?an(n?1,2,???,K)是
2“K项可减数列”,
则该数列一定是“K项可减数列” ????????????????????10
所以Sn?分
该逆命题为真命题??????????????????????????11分
nn?1an(1?n?K),所以当n?2时,Sn?1?an?1,两式相减, 22nn?1an?1,即(n?2)an?(n?1)an?1(n?2) (*) ??12分 得an?Sn?Sn?1?an?22则当n?3时,有(n?3)an?1?(n?2)an?2 (**),
理由如下:因为Sn?由(**)－(*),得an?an?2?2an?1(n?3)?13分
1a1,所以a1?0,故数列a1,a2,???,aK是首项为0的递增等差数列???? 14分 2设公差为d(d?0),则an?(n?1)d,(n?1,2,???,K)
又a1?对于任意的i,j(1?i?j?K),aj?ai?(j?i)d?aj?i?1??????????15分
因为1?j?i?1?K,所以aj?ai仍是a1,a2,???,aK中的项,故数列?an?是“K项可减数列”??16分 链接09北京
11.已知f?x?为奇函数，当x??0,2?时，f(x)??x2?2x；当x??2,???时，f(x)?2x?4，若关于x的不等式f(x?a)?f(x)有解，则a的取值范围为 ▲ . 11.??2,0???0,??? 14．已知a?0，函数(x)?x?ax?2a在区间?0,4?上的最大值为
7，则a的值为 ▲ . 10