1. 就你的亲身经历或所见所闻，谈谈建立数学模型的必要性。 2. 简要叙述建立数学模型的一般步骤。 3. 对下面生活问题，列出与之有关的因数： （1） 照相； （2） 酿酒； （3） 筹备宴会； （4） 选择休假日； 4. 描述下面的问题，其中哪些问题设计的内容是可以调查的，应该如何收集和收集什么数据，
为获得解答应做什么假设。
（1） 电视中少年儿童喜爱的动画片所占的比例。 （2） 当前公务员的平均月工资是多少。 （3） 在绿灯时，多少车辆可通过十字路口。
5. 对下面的问题列出问题表，并试图为这些问题寻求合理的解答。 （1） 需要一部新的电视，是买一部好还是租好？ （2） 为长时间保存而购买冷冻食品合不合算？
（3） 如何选择路径，使邮递员既能完成送信，又使所花时间最少？ （4） 乘火车旅游，若票价因季节而异，如何制订最经济的旅游计划？ （5） 跳伞时何时应将伞张开，使安全和软着陆得到保证？ （6） 林场有种植、砍伐、销售几阶段，采取哪种生产计划，可保证深林资源的稳定？ （7） 如何优化安排，使停车场能最大限度地满足用户的要求？
（8） 若干新的超市连锁店已设在各城区，为能方便地给各店供货，需增设一仓库，此仓库
设在何处最合适？
6. 为了培养想象力、.洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或
反面思考。试尽可能迅速地回答下面问题：
（1） 某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早
8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店，某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？
（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一
轮，直至比赛结束，问共需要进行多少场比赛。如果n支球队比赛呢？
（3） 甲乙两站之间有电车相通，每隔10min甲乙两站互相发一趟车，但发车时刻不一定相
同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
（4） 有一半径为100m的圆形湖，圆心在连接湖外两点A、B的线段上，某人想从A处步
行到B处，但不许趟水过湖，求最短路径。
7. 对下面的问题列出因素表，做出假设并给出对这些问题的准确的描述。
（1） 室内装饰：想用最小的开支来装饰房间，既要考虑墙纸的质量，又要考虑装饰所花的
时间。
（2） 过马路：公众正在议论是否应在繁忙的交通大道上建立人行天桥。
（3） 雨刷问题：有些车的后玻璃上只有一只雨刷器，应该如何设计雨刷器使雨刮器效果最
好。
8. 怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做哪些观察、实验及建立什么样的
数学模型。
（1） 估计一个人体内血液的总量。
（2） 估计一批日光灯管的寿命。 （3） 估计一棵树树叶的总面积。 （4） 投掷标枪的最佳角度。 （5） 街道上路灯间隔的选择。
（6） 设高层办公楼有4部电梯，早上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。
1. 试述线性规划数学模型的组成部分及其特征。 2. 用图解法求解下列线性规划问题。
（1）maxZ?2x1?x2 （2）maxZ?3x1?1x2
?4x1?3x1?12?2x?x?8?12 ?4x?x?8?12??x1,x2?0
??x1?2x2?4?3x?2x?14?12 ?x?x?3?12??x1,x2?03.将线性规划模型转换成标准形式。 （1）maxZ?x1?2x1?3x3
x1?x2?x3?7??x1?x2?x3?2? ?
?3x1?x2?2x3??5??x1?0,x2?0,x3无约束4.用单纯形法求解下列先行规划问题。
(1) minW?3x1?x2?x3?x4 (2) maxZ?4x1?5x2?x3
??2x1?2x2?x3?4? ?3x1?x2?x4?6
?x,x,x,x?0?1234?3x1?2x2?x3?18?2x?x?4?12 ??x1?x2?x3?5??x1,x2,x3?0
5.生产甲肥1t，需要磷酸盐0.4t，硝酸盐1.8t，利润1万元；生产乙肥1t，需要磷酸盐0.1t，
硝酸盐1.5t，利润0.5万元。现有磷酸盐10t, 硝酸盐66t，问甲.乙肥各生产多少吨获利最大？ 6.甲种食品每10g含5个单位的蛋白质，10个单位的铁，单价3元；乙种食品每10g含7个单位的蛋白质，4个单位的铁，单价2元。现需一份食品，含有35个单位的蛋白质，40个单位的铁，问如何配餐最省钱？
7.某厂接到生产AB两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2 h，产品B每件需要4 h。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4 h，精加工10 h；每件产品B需粗加工7 h，精加工12 h。若毛坯生产阶段能力为1700 h。粗加工设备有能力为1000 h，精加工设备拥有能力为3000 h。又加工费用在毛坯.粗加工.精加工时分别为每小时3元.3元.2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500 h的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。
8. 题表 3.1 买进售出表
某商店制定7~12月进货售货
7 8 9 10 11 12 月份 计划，已知商店仓库容量不得超
28 24 25 27 23 23 买进单价/元 过500件，6月底已存货200件，
29 24 26 28 22 25 售出单价/元 以后每月初进货一次，假设各月
份此商品买进售出单价如列表所列，如题表3. 1所列。问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？
9. 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或
由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成。或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48 h，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时，第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人，试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人，使总的工资支出为最少。
10. （营养配餐问题）假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55g蛋白质
和800mg钙。如果市场上只有4种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成分以及市场价格如题表3.2所列。问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品的费用最小？ 题表 3.2 营养成分及价格
序号 1 2 3 4 食品名称 猪肉 鸡蛋 大米 白菜 热量/J 1000 800 900 200 蛋白质/g 50 60 20 10 钙/mg 400 200 300 500 价格/元 10 6 3 2 11. 某公司生产甲和乙两种产品。它们的单位利润分别是300元和200元。该公司有两个机械加工中心。它们每天工作的有效时间分别为20 h和18 h。生产每单位甲在加工中心1需要1 h，在中心2需要3 h。生产每单位产品乙在加工中心1和2各需要2 h和1 h。根据市场调查知，产品甲每天的需求量不会超过5单位，而产品乙无论生产多少均能销售完。问公司应如何安排生产才能获利最大？试建立该问题的线性规划模型。 12. 某商品有m个产地、n个销地，各产地的产量分别为a1,…，am，各销地的需求量分别为
b1，…bn。若该商品由i产地运到j销地的单位运价为cij，问应该如何调运才能使总运费
最省？
13. 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有4个要害部位，只要摧毁其中之一
即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000 L、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2 km，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3 km，
又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程煤油消耗（空载时每升煤油可飞行4 km）外，起飞和降落每次各消耗100 L。有关数据如题表3.3所列。
题表3.3 飞行半径及摧毁概率
摧毁概率 每枚重型炸弹 10% 20% 15% 25% 要害部位 1 2 3 4 飞行半径/km 450 480 540 600 每枚轻型炸弹 8% 16% 12% 20% 为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案，要求建立这个问题的线性规划模型。
14. 某厂生产三种产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。每种产品要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规的设备能完成A工序，它们以A有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1,B2,B31,A2表示；表示。产品Ⅰ可在A，B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时、原材料费、产品销售价格、各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如题表3.4所列，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 题表 3.4 各有关费用
设备 Ⅰ 产 品 Ⅱ 10 9 8 0.35 2.00 Ⅲ 12 11 0.50 2.80 设备有效台时/h 满负荷时的设备费用/元 300 321 250 783 200 A1 A2 5 7 6 4 7 0.25 1.25 6000 10000 4000 7000 4000 B1 B2 B3 原材料/（元/件） 单 价/（元/件） 15. 某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如题表3. 5所列。 为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息2天，并要求休息的两天是连续
的。问应该如何安排售货人的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少。 16. 企业计划生产4000件某种产品。该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产。已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如题表3. 6所列，怎样安排产品的加工使总成本最小。
题表3. 5 售货员需求人数
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 所需售货员人数 28 15 24 25 时间 星期四 星期五 星期六 所需售货员人数 19 31 28 题表3. 6 成本、加工数量表
本企业加工 外协加工Ⅰ 外协加工Ⅱ 固定成本/元 500 800 600 变动成本/（元/件） 8 5 7 最大加工数/件 1500 2000 不限 17. 一家餐厅24 h全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量如表题表3. 7所列： 题表3. 7 需服务员人数
时间段/时 2:00~6:00 10:00~14:00 18:00~22:00 所需人数/名 3 12 18 时间段/时 6:00~10:00 14:00~18:00 22:00~2:00 所需人数/名 9 5 4 设服务员在各时间段的开始时点上上班，并连续工作8小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。
18. 有三个不同的产品要在3台机床上加工，每个产品必须首先在机床1上加工，然后依次在机床2,3上加工。在每台机床上加工3个产品的顺序应保持一样，假定用tij表示在第j机床上加工第i个产品的时间，问应如何安排，使三个产品总的加工周期为最短。试建立此问题的整数规划模型。
19. 某电子系统由三种元件组成，为使系统正常运转，每个元件都必须工作良好。如一个或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性。已知系统运转可靠性为各元件可靠性乘积，而每一元件的可靠性则是备用件数量的函数，具体数值如题表3. 8所列。又三种元件的价格分别是20,30,和40元，质量分别是2,4,和6 kg。已知全部备用件的费用预算限制为150元，质量限制为20 kg，问每个元件各准备多少备件，才能使系统的可靠性最大。
20. 4人承担4项任务，各人完成各项任务所需的时间如题表3. 9所列，试确定最优的任务分配方案，以使4人完成4项任务的总时间最少。
21. 有5人竞争4项工作，若他们完成各项工作所需的时间如题表3.10所列，问应如何分配任务才能使总的工作效率提高。
22. 4个人面临5项工作，现要在5项工作中选择4项进行分配，每个人完成各项工作所需的时间如题表3.11所列，问应如何分配才能使总的工作效率最高。