Zxy专题复习 初中知识第一阶段
第七部分 图形变换与图形的全等、相似
图形变换 一、轴对称：如果某个图形沿一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.如果两个图形以一条直线为轴翻折，能够彼此重合，那么就说这两个图形成轴对称。 轴对称的特征：轴对称图形的对称轴垂直平分对称点的连线段； 两个图形成轴对称，则这两个图形全等。
二、平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动 一定的距离，这样的图形运动称为平移.
平移的特征：平移后对应线段相等且平行或在一条直线上，对应角相等；对应点连线相等且平行或在一条直线上；图形的形状、大小不变。
三、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转的特征：旋转时每个点都绕旋转中心旋转相同的角度；对应点到旋转中心的距离相等；图形的形状、大小不变。
四、中心对称：如果一个图形绕着某一定点旋转180°后能与自身重合，那么就称这个图形为中心对称图形；如果一个绕着某一定点旋转180°后能与另一个图形重合，那么就称这两个图形成中心对称.这个定点叫对称中心. 中心对称的特征：成中心对称的两个图形中，连结对称点 的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 五、全等变换：
能够完全重合的两个图形叫全等图形.一个图形经过平移、翻折、旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.全等多边形的对应边相等、对应角相等。 六、位似变换：
以一个定点为中心，将一个图形进行放大或缩小的变换，叫位似变换. 这个定点叫位似中心.【位似一定相似，相似不一定位似】 【中考试题】：1、直线y?2x?1向下平移2个单位后的解析式是 ，再向右平移2个单位后的解析式是 . 2、如图，O是边长为1的正△ABC的中心，将△ABC绕点O 逆时针方向旋转180°得△DEF，则△DEF与△ABC重叠部分 (图中阴影部分)的面积为 .
3、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 cm. 4、在同一坐标平面内，下列4个函数①y?2(x?1)2?1,
1222②y?2x?3,③y??2x?1,④y?x?1的图象不可能
2由函数y?2x2?1的图象通过平移、轴对称变换得到的是 (填序号). 5、如图，矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2， AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB’C， AB’交y轴于D点，则点B’的坐标为 . 6、如图，将直角边长为5cm的等腰直角 △ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到 △ADE，则图中阴影部分的面积是 .
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7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3. 点D是BC边上一动点(不与B、C重合)，过点D作DE⊥BC 交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上 的点F处.当△AEF为直角三角形时，BD的长为 .
8、如图，已知点C为直线y?x上在第一象限内的一点，直线y?2x?1交y轴于点A，交x轴于点B，将直线AB沿射线OC方向平移 32个单位，求平移后的直线的解析式.
9、如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4， 将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转到 点E，则∠CDE的正切值为 .
10、如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连结EB. (1)判断△ABE形状,并说明理由； (2)若AB=2，AD=33，求PE的长.
11、如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O. (1)如图1，求证：A、G、E、F四点围成的四边形是菱形； (2)如图2，当△AED的外接圆与△A相切于点N时， 求证：点N是线段BC的中点；
(3)在(2)的条件下，求折痕FG的长.
12、已知等腰△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为(?33,3)，点B的坐标为(?6,0).(1)若△OAB关于y轴的轴对称图形是△OA'B'，请直接写出A、B的对称点A'、B'的坐标；(2)若将△OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A
63恰好落在反比例函数y?的图象上，求a的值；(3)若△OAB绕点O按逆时
xk针方向旋转30°时点B恰好落在反比例函数y?的图象上，求k的值.
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图形的全等 一、定义：能够完全重合的两个图形，叫全等形；能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形.
二、识别：(1)三边对应相等(符号记为“S.S.S.”)；(2)两边和夹角对应相等(符号记为“S.A.S.”)；(3)两角和夹边对应相等(符号记为“A.S.A.”)；(4)两角和其中一个角的对边对应相等(符号记为“A.A.S.”)的两个三角形全等.
特殊地，有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等.(记为“H.L.”) 三、性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等.
(2)全等三角形对应边上的中线、高分别对应相等，对应角的平分线对应相等； 全等三角形的周长相等，面积相等. 【中考试题】：1、下列命题正确的是( )
A.三个内角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等的 两个直角三角形全等 C.一边上的高对应相等的两个等腰 三角形全等 D.一边相等的两个等腰三角形全等
2、如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于 点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE;②BG=4GE; ③S?BHE?S?CHD;④∠AHB=∠EHD.其中正确的是 . 3、如图，现给出五个等式①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE; ④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA，请以其中两个为条件，
另两个为结论，写出一个正确的命题.(写出已知、求证并证明)
4、如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC上的点F处， 已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为 .
5、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点， AE=CF，连结EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC . (1)求证：OE=OF；(2)若BC=23，求AB的长.
6、如图，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC并以PB为角的一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。
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7、如图，在ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，求线段FC的长度.
8、(1)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF、AG.求证：EF=FG.
(2)如图2，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长.
9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD=DE.
10、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结 DE并延长，交AC的延长线于点F，若DE=EF，求证：BD=CF.
11、如图，△ABC和△AED均为等腰直角三角形，B、C、E在同一直线 上，连结DC.(1)找出图中全等的三角形，并证明；(2)求证：DC⊥BE.
12、探究“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”：
用符号语言表示问题为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E. (1)对∠B分三种情况探究：①∠B是直角.如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“H.L.”，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
②∠B是钝角.如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E为钝角，求证：△ABC≌△DEF.③∠B是锐角.在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E为锐角，请用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等. (2)在第③种情况中，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E
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为锐角，若 ，则△ABC≌△DEF.
13、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3.
(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
(2)若P为BC边上一点，且BP=2CP，连结EP并延长，交AB的延长线于F. ①求证：点B平分线段AF.②△PAE能否由△PFB绕点P按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转角度；若不能，说明理由.
14、如图，正方形ABCD中，点E在直线BC上，连结AE.将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B'，连结AB'并延长交直线DC于点F.(1)当点F与点C重合时如图1，请证：DF+BE=AF；(2)当点F在DC的延长线上时如图2，当点F在CD的延长线上时如图3，线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.
15、(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D、E.证明：DE=BD+CE.
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α是任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，给出证明；若不成立，说明理由.
(3)拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连结BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
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