Zxy专题复习 初中知识第一阶段
图形的相似 一、线段的比和比例线段：
1、线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比. 2、成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果a:b=c:d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段.简称比例线段.
3、比例尺：在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比叫比例尺.
ac4、比例的基本性质：??ad?bc.
bdab 若?，即b2?ac，则把b叫做a、c的比例中项.
bc 比例性质的推广：
acbdacabaca?bc?d?(1)若?,则?；(2)若?,则?；(3)若?,则；
bdacbdcdbdbdacma?c?????mm?. (4)若??????(b?d?????n?0),则bdnb?d?????nn5、平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，得到的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得对应线段成比例. 二、相似三角形：
1、概念：(1)各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
(2)三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2、判定：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似.
3、性质：(1)相似三角形对应边成比例，对应角相等；(2)相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
4、中位线：连结三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，它平行第三边并且等于第三边的一半.连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，它平行两底并且等于两底和的一半.
5、重心：三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.重心到三角形一个顶点的距离等于到该顶点对边中点距离的两倍. 三、位似图形：
如果两个图形的每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.两位似图形的相似比也叫位似比.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比. 【中考试题】：1、已知三个数1，2，3，请添一个数， 使它们能构成一个比例式，则这个数为 .
xyz2x?3y? . 2、若???0,则234z3、如右图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于点D，(1)试找出图中相似的三角形；
(2)求证：CD2?AD?BD;AC2?AD?AB；BC2?BD?AB.
4、如右图2，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC，(1)求证：△ABC∽△BCD；(2)若∠A=36°，CD=1cm，求AB的长.
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5、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BD相交于点E，
111??EF⊥BD，垂足为F.可证得成立.若将图1中的垂直改为斜交，ABCDEF如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则
111??(1)还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，说明理由. ABCDEF(2)请找出S?ABD、S?BED和S?BDC间的关系式，并给出证明.
6、如右图3，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树 的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m. 7、如图，在△ABC中，点P是AC边上任意一点， 请过点P作△APQ，使其与△ABC相似.
8、已知正方形ABCD的边长为1，P为CD的中点，点Q在
线段BC上，试问BQ为何值时△ADP与△QCP能相似.(不包括全等情形)
*求证：三角形一内角平分线分对边所成的两条线段与另两条边成比例.
9、如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为 △ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H， 并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 . 10、如图，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB
EFAC?延长线上一点，且.求证：AD=EB. FDBC
11、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥CD. 求证：AD是AF与AB的比例中项.
12、如图，已知梯形ABCD中，BA∥CD，对角线AC、BD
112??. 相交于E，过E点作FG∥AB，交AD于G，交BC于F.求证：
ABCDFG
13、如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE， ∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD 相交于点G.(1)试判断线段BC、DE的数量关系， 并说明理由；(2)如果，那么线段FD是线段FG和 FB的比例中项吗？为什么？
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14、如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3 (用“＞”“＜”或“=”填空)；
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明. 15、如图，正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交 AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N.下列结论：
222
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；
④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点. 其中正确的结论是 .
16、如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，点F、M分别是AB、BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD.连结MF、NF. (1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由.
117、如图，在直角坐标系xOy中，直线y?x?2与x轴、y轴分别交于A、B
2两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=5. (1)求点A、B的坐标及边AB的长；(2)过点D作DH⊥x轴， 垂足为H，求证：△ADH∽△BAO；(3)求点D的坐标.
18、现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC、CD于P、Q，易得BP:PQ:QR=3:1:2.(1)若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC、CD、DE于P、Q、R，则BP:PQ:QR:RS= . (2)若取五个直角三角形拼成如图3所示 的形状，T为FG的中点，BT分别交 AC、CD、DE、EF于P、Q、R、S， 则BP:PQ:QR:RS:ST= .
19、如图1，P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点. (1)如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点. (2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C. ①如图3，利用尺规作图作出△ABC 的自相似点P.②若△ABC的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形 三个内角的度数.
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解直角三角形 一、锐角三角函数：
acac,余弦cosA?,正切tanA?,余切cotA?. bbcacacasinC?, cosC?, tanC?, cotC?. bbac2、性质：
(1)当0°＜∠A＜90°时，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA＞0. (2)在0°～90°之间，正弦(或正切)值随角度的增大而增大， 余弦(或余切)值随角度的增大而减小. (3)同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，sinA/cosA=tanA. (4)互余两角三角函数关系： sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)，tanA=cot(90°-A)，cotA=tan(90°-A). 3、特殊角的三角函数值：
123sin30??cos60??,sin45??cos45??,sin60??cos30??,222
3tan30??cot60??,tan45??cot45??1,tan60??cot30??3.31、定义：正弦sinA?【中考试题】：1、在锐角△ABC中，若sinA?3?22?cosB?0,则cosC= . 212、已知sinα·cosα=，且45°＜α＜90°，则cosα-sinα= .
83、在正方形网格中，△ABC的位置如图，则cos∠B的值为 .
2且tanα＜3，则α的范围是 . 21?2sin??cos?5、如果α为锐角，且tanα=1，则? .
cos?6、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB=12，
3CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值.
2
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2?7x?c?7?0的两个根，求AB边上的中线的长.
58、如图，在梯形形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26.
13求(1)cos∠DAC的值；(2)线段AD的长.
4、若锐角α满足cosα＜
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9、a、b、c是△ABC的三边长，且满足等式(2b)2?4(c?a)(c?a)， 5a?3c?0，求sinA+sinB的值.
10、如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为 . 11、如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4， 将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转到 点E，则∠CDE的正切值为 .
12、已知△ABC的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个正整数根之一，求sinA的值.
13、规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny.
据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的符号)：①cos(-60°)=-0.5；
6?2②sin75°=；③sin2x=2sinx·cosx；④sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny.
4二、解直角三角形： 1、基本类型及解法：
a(1)已知两直角边a、b，则：c?a2?b2,tanA?,?B?90???A.
ba(2)已知一直角边a、斜边c，则：b?c2?a2,sinA?,?B?90???A.
c(3)已知一直角边a、锐角∠A，则：?B?90???A，b?a?cotA,c?a2?b2. (4)已知斜边c，锐角∠A，则：?B?90???A，a?c?sinA,b?c2?a2. 【注】：对于斜三角形要通过作高，转化为直角三角形；对于梯形要通过作高 转化为矩形和直角三角形. 2、应用：
(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的夹角. (2)方位角：与南北方位线所成的角.
(3)坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比 叫坡度(或叫坡比)，记作i，即i=h：l. 坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
坡度i=tanα越大，坡角α也越大，坡就越陡. 【中考试题】：1、下列各图均由实际问题转化而成的数学模型，请根据图形中标注的条件，按要求求值.
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