一、随机事件和概率
数学一、数学三和数学四的考试大纲、内容和要求完全一致．
Ⅰ 考试大纲要求
㈠ 考试内容
随机事件和样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
㈡ 考试要求 事件及其概率的基本概念、基本公式和求事件概率的方法． 1、了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；
2、理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）．
3、掌握计算事件概率的基本计算方法：
(1) 概率的直接计算：古典型概率和几何型概率；
(2) 概率的推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率．
(3) 利用概率分布：利用随机变量的概率分布计算有关事件的概率．
4、理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算．
Ⅱ 考试内容提要
㈠ 随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间）
随机试验——对随机现象观测；样本点（基本事件）?——试验最基本的结局，基本事件空间（样本空间）（样本点）随?????——一切基本事件?的集合．机事件——随机现象的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件?——每次试验都一定出现的事件，不可能事件?——任何一次试验都不出现的事件． 事件常用前面几个大写拉丁字母A,B,?表示；有时用????表示事件，这时括号中用文字或式子描述事件的内容．
数学上，事件是基本事件（样本点）的集合；全集?表示必然事件，空集?表示不可能事件．任何事件A都可视为基本事件空间?的子集：A??．
—1.1—
㈡ 事件的关系和运算
1、定义 关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）． (1) 包含 A?B，读做“事件B包含A”或“A导致B”，表示每当A出现B也一定出现．
(2) 相等 A?B，读做“事件A等于B”或“A与B等价”，表示A与B或同时出现，或同时不出现．
(3) 和 A?B或A?B，表示事件“A与B至少出现一个”，称做事件“A与B的和或并”；特别，
?Ai 或 ?Ai
ii表示事件“A1,A2,?,An,?至少出现一个”．
(4) 差A\\B或A?B，表示事件“A出现但是B不出现”，称做A与B的差，或A减B．
(5) 交 A?B或AB，表示事件“A与B同时出现”，称做A与B的交或积；特别，
?Ai 或
iA1A2?An?
表示事件“A1,A2,?,An,?同时出现”．
(6) 相容 若AB??，则称事件“A和B相容”；若AB??，则称“事件A与
B不相容”；
(7) 对立事件 称事件A和A互为对立事件，若A?A??，AA??，即
A?{A不出现}．
(8) 完备事件组 H1,H2,?,Hn,?构成完备事件组，若
H1?H2???Hn????，HiHj?? (i?j)．
换句话说，如果有限个或可数个事件H1,H2,?,Hn,?两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组．
(9) 文氏图 事件的关系和运算可以用所谓文氏图形象地表示出来（见图1.1，题中的矩形表示必然事件?）．
A A B B A－B AB A
A+B A－B AB
—1.2—
A B B A B A
A?B A AB??
A
图1.1 文氏图
2、事件运算的基本性质 对于任意事件A, B, C, A1,A2,?,An,?，有 (1) 交换律 A?B?B?A，AB?BA．
(2) 结合律 A?B?C?A?(B?C)?(A?B)?C；
ABC?A(BC)?(AB)C．
(3) 分配律 A(B?C)?AB?AC；
A?A1???An????AA1???AAn??．
(4) 对偶律
A?B?AB；AB?A?B， A1???An???A1?An?；；
A1?An??A1???An??
㈢ 概率的概念和基本性质
1、概率的概念 事件的概率——事件在随机试验中出现的可能性的数值度量．用P(A)表示事件A的概率，用P????表示事件????的概率． 事件B关于A的条件概率定义为
P(AB)． (1.1) P?BA??P(A)2、概率的运算法则和基本公式 (1) 规范性 P(?)?1，P(?)?0， 0?P(A)?1．
(2) 可加性 对于任意有限或可数个两两不相容事件A1,A2,?,An,?，有
P?A1?A2???An????P?A1??P?A2????P?An???．
(3) 对立事件的概率 P(A)?1?P(A)． (4) 减法公式 P(A?B)?P(A)?P(AB)．
(5) 加法公式 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)；
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)??P(AB)?P(AC)?P(BC)??P(ABC)．(6) 乘法公式
—1.3—
P?A1A2?An??P?A1?P?A2A1??P?AnA1A2?An?1? ．(7) 全概率公式 设H1,H2,?,Hn构成完备事件组，则对于任意事件A，有
nP(AB)?P(A)P(BA)，P(A)??P(Hk)P(AHk)．
k?1(8) 贝叶斯公式 设H1,H2,?,Hn构成完备事件组，则
P?HkA??P(Hk)P(AHk)?P(Hi)P(AHi)i?1n ?1?k?n?．
㈣ 事件的独立性和独立试验
1、事件的独立性 若P?AB??P(A)P(B)，则称事件A和B独立；若事件A1,A2,?,An之中任意m?2?m?n?个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件A1,A2,?,An相互独立．
2、事件的独立性的性质 若事件A1,A2,?,An相互独立，则其中 (1) 任意m(2?m?n)个事件也相互独立；
(2) 任意一个事件，与其余任意m(2?m?n)个事件运算仍独立；
(2) 将任意m(2?m?n)个事件换成其对立事件后，所得n个事件仍独立． 3、独立试验 称试验E1,E2?,En为相互独立的，如果分别与各个试验相联系的任意n个事件之间相互独立． (1) 独立重复试验 独立表示“与各试验相联系的事件之间相互独立”，其中“重复”表示“每个事件在各次试验中出现的的概率不变”．
(2) 伯努利试验 只计“成功”和“失败”两种对立结局的试验，称做伯努利试验．将一伯努利试验独立地重复作n次，称做n次(n重)伯努利试验，亦简称伯努利试验．伯努利试验的特点是，1）只有两种对立的结局；2）各次试验相互独立；3）各次试验成功的概率相同．设?n是n次伯努利试验成功的次数，则
kn?kP??n?k??Ckpq(k?0,1,2,?,n)． (1.2) n
㈤ 事件的概率的计算
1、直接计算 古典型和几何型； 2、用频率估计概率 当n充分大时，用n次独立重复试验中事件出现的频率，估计在每次试验中事件的概率；
3、概率的推算 利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件
—1.4—
的概率推算较复杂事件的概率；
4、利用概率分布 利用随机变量的概率分布，计算与随机变量相联系的事件的概率（见“二、随机变量及其分布”）．
㈥ 随机抽样和随机分配 在概率计算中常要用到以下模型．
1、简单随机抽样 计算古典型概率时，需要计算基本事件的总数和事件包含的基本事件的个数．自有限总体的随机抽样模型有助于完成运算．设? ???1,?2,?,?N?含N个元素，称?为总体．自总体?的抽样称做简单随机抽样，如果各元素被抽到的可能性相同．有4种不同的简单随机抽样方式：
(1) 还原抽样 每次从?中随意抽取一个元素，并在抽取下一元素前将其原样放回?．
(2) 非还原抽样 凡是抽出的元素均不再放回?．
(3) 有序抽样 既考虑抽到何元素又考虑各元素出现的顺序． (4) 无序抽样 只考虑抽到哪些元素不考虑各元素出现的顺序．
还原与非还原及有序与无序，这四种情形的组合产生四种不同的简单随机抽样方式．表1-1列出了在每种抽样方式下各种不同抽法(基本事件)的总数．
表1-1 四种抽样方式下不同抽法的总数
抽样方式 不同抽法的总数 有序 Nn 自含N个元素的还原 nC无序 N?n?1 总体?的n次简n单随机抽样 有序 PN?N(N?1)?(N?n?1) 非还原 nCn?P无序 NNn! 2、随机分配 即将n个质点随机地分配到N个盒中，区分每盒最多可以容
纳一个和可以容纳任意多个质点，以及质点可辨别和不可辨别等四种情形，对应四种分配方式．各种分配方式下不同分法的总数列入表1-2．
表1-2 四种分配方式下不同分法的总数 分配方式 不同分法的总数 Nn 将n个质点随机每盒可容纳质点可辨 Cn地分配到N个盒任意个质点 质点不可辨 N?n?1 n中 P质点可辨 每盒最多容N?N(N?1)?(N?n?1) 纳一个质点 质点不可辨
—1.5—
nCnN?PNn!