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线性方程组的解法及其应用
The solution of linear equation
and its application
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摘要
线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛
的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。
在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和
调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要
围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并
简述线性方程组的一些实际应用。
关键词：
齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的
秩，特解，通解。
Abstract
Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations.
Keywords:
Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear
equation,Clem’s law, Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.
1.线性方程组的定义
小学的时候，我们就已经学过方程，并解过一些简单方程，例如形如
ax?b?c 的一元一次方程，形如 ax2?bx?c?d 的一元二次方程等等。到了
?ax?b1y?c2中学，又学习了形如 ?1 的二元一次方程组。这些都可以称为简单
?a2x?b2y?c2的线性方程组。
1.1 一般线性方程组
根据上述，所谓一般线性方程组是指形如
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ? （1.1） ???????an1x1?an2x2???annxn?bn.
的方程组，其中x1,x2,?,xn 代表n个未知量，m是该方程组所包含的方程的个数，
aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n) 称为方程组的系数，bj(j?1,2,?,m) 称为常数项。
常数项一般写在等式的右边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。
1.2 齐次线性方程组
所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn? （1.2） ???????an1x1?an2x2???annxn?0.的方程组。
1.3 非齐次线性方程组
所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。
2.用克莱姆法则求解线性方程组
利用克莱姆法则求解线性方程组时需要具备两个条件： 线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等， （1） 线性方程组的系数列行列式不等于零。
2.1 克莱姆法则
设含有n个未知数的线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ? （2.1） ???????an1x1?an2x2???annxn?bn.
的系数行列式