a11D?a21?an1a12??a1n??≠0， （2.2）
a22?a2nan2?ann
则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为
DDDx1?1,x2?2,?,xn?n.
DDD
其中Dj(j=1,2，?，n)是把系数行列式D中第j列的元素用常数项b1,b2,?,bn代替后所得到的n阶行列式，即
a11?a1,j?1b1?a1,j?1?a1na2,j?1?a2n??an,j?1?ann. （2.3）
Dj?a21?a2,j?1b2??an1?an,j?1bn
2.2 克莱姆法则的证明
用Aij乘以第i个方程,得
ai1Aijx1???aijAijxj???ainAijxn?biAij,i?1,2,?n,
那么可以得到
n?n??n??n???ai1Aij?x1?????aijAij?xj?????ainAij?xn??biAij,
i?1?i?1??i?1??i?1?（注意：上式中只有xj的系数不为零，其余各项系数全为零.） 于是 Dxj?Dj. 又由于D?0,所以xj?另证：
DjD,j?1,2,?n.
a11D?a21?an1 ?
a12?a1na22?a2n???an2?annbiai1?aina11?a1n???an1?ann(i?1,2?n)
?o?加行加列b1?bn1?21?3?11?4?21?(n?1)n?10?biD+ai1(?1)D1?ai2(?1)D2?ai3(?1)D3+??ain(?1)?0?biD?ai1D1?ai2D2???ainDn ?biD?ai1D1?ai2D2???ainDn
由于D?0,所以
bD1DDi?ai1D?a2i2D???aninD， 故 xii?DD（i?1,2,?n）；Ax?b有解且解唯一.
2.3 克莱姆法则在线性方程组中的应用
（1）用克莱姆法则解方程组
??2x1?x2?5x3?x4?8,??x1?3x2?6x4?9,.
?2x2?x3?2x4??5,??x1?4x2?7x3?6x4?0解：
21?5107?513r D?1?30?61?2r21?30?602?12 ????r 4?r202?12
14?7607?712
展开c17?513c2c2?3?53?? ?2?12 1?7?712c?????0?10
3?2c2?7?7?2
展开r??2 ?33?7?2?27?0,
?(?1)Dn
故线性方程组有解。
81?5128?5D9?30?6901??52?12?81, D2?10?5?104?7610?7
218121?5D1?39?61?33?02?52??27, D04?02?1140614?7
?x1D?8127?3, xD?1081?D2?2D?27??4,
xD33?D??2727??1, xD4274?D?27?1.
（2）设曲线 y?a30?a21x?a2x?a3x 通过四点（1，3）、（（3，3）、（4，－3），求系数a0,a1,a2,a3.
解：
将四点的坐标代入曲线方程，得线性方程组
??a0?a1?a2?a3?3??a0?2a1?4a2?8a3?4?9a， ?a0?3a12?27a3?3??a0?4a1?16a2?64a3??3
其系数行列式
1111D?124813927?12?0.
141664
1?62??108,
689?5?27, 02，4）、
31231491827?36,D2?1113431491827??18,
43又 D1??3416641?3166411149343??6.
11D3?12133431827?24,D4?121314?3641416?3
由克莱姆法则得方程组有惟一解。得
31 a0?3,a1??,a2?2,a3??.
22
以上为本文对克莱姆法则的简述。综上所述，可知用克莱姆法则解n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算 n+1 个n阶行列式，计算量相当大。所以在实际问题中，超过四个未知数的线性方程组一般不采用克莱姆法则求解，通常是才用一下介绍的方法。尽管如此，克莱姆法则在理论上仍然是相当重要的，因为它清楚地告诉我们，当方程组（2.1）的系数行列式不等于零时，方程组（2.1）有唯一解，又从求解公式中可以看到方程组（2.1）的解与它们的系数、常数项的依赖关系，而且以后将会看到，克莱姆法则还可以用于一般线性方程组的研究和讨论。所以对克莱姆法则的条件、结论及其求解公式必须正确掌握和运用。
3.利用消元法求解线性方程组
消元法是求解线性方程组的最直接、最有效、最一般的方法，它的基本思想是利用方程组中方程之间的算术运算，每次保留一个方程，消去其他方程的某一个未知量，这样一步步做下去，最后得到一个阶梯形方程组，然后通过解这个比较容易求解的阶梯形方程组而获得原方程组的解。
3.1 线性方程组的矩阵
设含有n个未知数的线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2? （3.1） ???????an1x1?an2x2???annxn?bn.
该方程组的矩阵表示形式为： AX = B 其中
?a11?aA = ?21????am1
a12a22?am2?a1n??x1??b1??x??b??a2n?2?， X = ??， B = ?2?. ???????????????amn?x?n??bn?称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵
?a11?a[AB]=?21????am1
称为方程组（3.1）的增广矩阵。
3.2 消元法
a12a22??a1n?a2n??am2?amnb1?b2?? （3.2） ???bm?若用初等行变换将增广矩阵[AB]化为[CD]，则AX = B与CX = D是同
解方程组。可以利用初等行变换将其增广矩阵[AB]化简，将[AB]化成阶梯形矩阵。用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵[AB]化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为消元法。