3．当r(A)= r?n时，方程组AX = O有n-r个自由未知量。 （2）齐次线性方程组AX = O解的性质：
性质1 若X1和X2为齐次线性方程组AX = O的解，则X1+X2亦为AX = O的解。
性质2 若X1为齐次线性方程组AX = O的解，则kX1亦为AX = O的解，其中k为任意常数。
由性质1，2可知，若X1，X2，?，Xs为方程组AX = O的解，则k1X1+k2X2 +?+ksXs亦为AX = O的解，其中k1,k2,?,ks为任意常数。
若X1，X2，?，Xs线性无关，且方程组AX = O的任何一个解X都可以被= O的全部解就是 k1X1+k2X2 +?+ksXs. X1，X2，?，Xs线性表出，则AX 其中k1,k2,?,ks为任意常数。
(3)齐次线性方程组AX = O满足下列两个条件的一组解向量，称为AX = O的基础解系：①线性无关②方程组AX = O的任何一个解都可以用它们线性表出。 则方程组AX = O的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。
当r(A)= n时，方程组AX = O只有零解，故不存在基础解系；而当r(A)= r( 当r(A)= r n-r个解向量。若X1，X2，?，Xn?r为基础解系，则AX = O的全部解为 k1X1+k2X2 +?+kn?rXn?r ，其中k1,k2,?,ks为任意常数。称为AX = O的通解。 如何求方程组AX = O的基础解系呢？ ①把齐次线性方程组的系数写成矩阵A； ②用初等行变换把A化为阶梯阵； ③把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量 ④分别令自由未知量中一个为1其余全部为0的办法，求出n-r个解向量，这 n-r个解向量构成了基础解系。 （4）例：设齐次线性方程组 ?x1?x2?x3?x4?x5?0?3x?2x?x?x?3x?0?12345，求其基础解系和通解。 ?x2?3x3?2x4?6x5?0???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0解： 先写出系数矩阵A，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即 ?1?3A = ??0??51111?111??11?0?1?2?2?6?②?①(?3)211?3?④?①(?5)? ???? ?? ??011326?326????433?1?0?1?2?2?6??111??11?0?1?2?2?6?③?②④?②(?1)? ?? ? ????00100???00000??再进一步化简，得 ?11?0?1①?③(?1)②?③2???????00??001?①?②0?2?6?(?1)??②???100??000?01?1?0??0??000?1?5?1026?? 0100??0000? ?1???2???由此可知x4,x5为自由未知量。 令x4?1，x5?0，得解向量X1??0?； ???1???0???5???6???令x4?0，x5?1，得解向量X2??0?；于是{X1，X2}为方程组的基础解系。 ???0???1??通解为 k1X1+k2X2，其中k1,k2为任意常数。 4.2 非齐次方程组解的结构 （1）非齐次方程组的矩阵表示形式为：AX = B ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? ?????????am1x1?am2x2???amnxn?bm非齐次线性方程组AX = B的解的情况可以归纳为： ①方程组AX = B有解的充分必要条件是r[AB]=r(A)。 ②若r[AB]=r(A)= n时，方程组AX = B有唯一解。 ③若r[AB]=r(A)= r?n时，方程组AX = B有无穷多解，且有n-r个自由未知量。 （2）在非齐次线性方程组AX = B中，令B = O，得到相应的齐次方程组AX = O。 方程组AX = B与相应的AX = O之间有密切的关系，满足如下性质： ①若X1和X2为非齐次线性方程组AX = B的解，则X1-X2必为AX = O的解。 ~②若X0为非齐次线性方程组AX = B的解，X为相应的方程组AX = O的解，则~X0+X必为AX = B的解。 5.线性方程组解的判定 根据上述可知线性方程组的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1）是否有解，关键在于增广矩阵[A B]化成阶梯非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。 5.1 解的判定方法 线性方程组（3.1）有解的充分必要是 r(A)=r(AB)。 推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A)＝r(AB)= n 。 推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是r(A)＝r(AB)?n 。 5.2 判定方法的应用 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？ ?x1?2x2?3x3??11?x1?2x2?3x3??11?x1?2x2?3x3??11??x?x?x?7??x?x?x?7??x?x?2x?7???123123123(1)? (2)? (3)? 2x?3x?x?62x?3x?x?62x?3x?x?6123123123????????3x1?x2?2x3?4??3x1?x2?2x3?5??3x1?x2?2x3?5解： (1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 2?3?11??1?12?3?11??1??1?11??01?2?4??07? ? ?? ? ?[A B ]=??2?31?0?77?06?28???????312407?7?29?????02?3?11?1?2?4?? 0?70??00?1?因为 r(AB)= 4，r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。 (2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即 2?3?11??1??1?12?7?? ? ?[A B ]=??2?316????3125???1?0??0??02?3?11?1?1?4?? 000??000?因为 r(AB)=r(A)=2?n（= 3），所以方程组有无穷多解。 (3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 2?3?11??1??1?11?7??? ?[A B ]=??2?316????3125???1?0??0??02?3?11?1?2?4?? 0?70??000?因为 r(AB)=r(A)= 3 = n，所以方程组有唯一解。 6.线性代数的实际意义 6．1 如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助。 6.2 如果你想继续深造，考研，必须学好线代。