证明：
存在初等矩阵p1,p2,?,pk，使 pk?p2p1?AB???CD?.
记pk?p2p1?p，则p可逆，即p?1存在。
设x1为方程组A X = B的解，即 Ax1 = B .
在上式两边左乘P，得 P Ax1 = PB , 即 Cx1= D 说明x1也是方程组C X = D的解。
反之，设x2为方程组C X = D的解，即 Cx2= D .
在上式两边左乘p?1，得 p?1Cx2?p?1D , 即 Ax2 = B . 说明x2也是方程组AX = B的解。
因此，方程组A X = B与C X = D的解相同，即它们是同解方程组。
3.3 消元法的步骤及应用
?x1?x2?2x3?x4??1?x?5x?3x?2x?0?1234（1）解线性方程组 ? . （3.3）
3x?x?x?4x?21234????2x1?2x2?x3?x4?1解:
先写出增广矩阵[AB]，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
1?2?1?1??1?11?2?1?1?②?①(?1)?1??04?1?11?③?①(?3)5?3?20④?①2? ???? ?? ?[AB]=??3?11?0?4742?75??????221?1104?3?3?1????
?1?0③?②④?②(?1)???????0??01?2?1??11?0④?③()4?1?11?3? ????? ??00666???0?2?2?2??0?11?2?1?1?4?1?11?? 0666??0000?上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为 ?x1?x2?2x3?x4??1?4x2?x3?x4?1 ??6x3?6x4?6?1将最后一个方程乘，再将x4项移至等号的右端，得 x3??x4?1. 6将其代入第二个方程，解得 x2?1. 2再将x2,x3代入第一个方程组，解得 x1??x4?因此，方程组（3.3）的解为 1. 21?x??x?4?12?1? ?x2? . （3.4） 2??x3??x4?1??其中x4可以任意取值。 由于未知量x4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未知量x4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量x4取定一个值（如x4=1），11得到方程组（3.3）的一个解（如x1??，x2?，x3?0，x4?1），称之为22方程组（3.3）的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将x3取作自由未知量。 如果将表示式（3.4）中的自由未知量x4取一任意常数k，即令x4= k，那么方程组（3.3）的一般解为 1?x??k??12??x?1 ，其中k为任意常数。 2??x??k2?1?3??x4?k用矩阵形式表示为 1???1??k??x1????1????22?x??1??0??1?2??k????? （3.5） ?????x3??2???1??2?????k?1????1?x?1????4????k??0?其中k为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。 用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，对(1)中的阶梯形矩阵进一步化简， ?1?0??0??01?2?1?1?③16?①?③24?1?11?②?③?????0666?0000??1?0??0??01011?4002?? 0111??0000?
??11②?4①?②(?1)??????0??0?0?0011000110001?2?1??. 2?1?0?? 1?x?x?4?12?1?上述矩阵对应的方程组为 ?x2? 2??x3?x4?1??将此方程组中含x4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解， 1?x??x?4?12?1? ?x2? （3.4） 2??x3??x4?1??其中x4可以任意取值。 ?x1?2x2?3x3?4?2x?3x?5x?7?123(2) 解线性方程组 ? 4x?3x?9x?923?1??2x1?5x2?8x3?8解: 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵?AB?化成阶梯阵，再求解。即 ?1?2?AB? = ??4??22?34??12?34??0?11?1?3?57?? ? ?? ?0?53?7?3?99????5?88??01?20?
?12?34??12?34??0?11?1??0?11?1?? ? ?? ? ??00?2?2??0011?????00?1?10000???? ?1?0 ? ??0??0207??1?0102?? ? ??0011???000??0003?102?? 011??000??x1?3?一般解为 ?x2?2 . ?x?1?3 4.线性方程组解的结构 4.1 齐次线性方程组解的结构 （1）齐次线性方程组的矩阵形式为：AX = O ?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ? ?????????am1x1?am2x2???amnxn?0解的情况可以归纳为： 1．齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是r(A)= n 。 2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是r(A)?n 。 注意：当A为n阶方阵时也可利用矩阵行列式A判断。