自有限总体? ???1,?2,?,?N?的n次简单随机抽样，相当于将n个质点随机地分配到N盒中：每一个质点在N个盒中“任意选择一个盒子”；“还原”相当于“每盒可以容纳任意多个质点”，“非还原”相当于“每盒最多可以容纳一个质点”；“有序”相当于“质点可辨别”，“无序”相当于“质点不可辨别”．
Ⅲ 典型例题
〖填空题〗
例1.5（古典型概） 在4张同样的卡片上分别写有字母D，D，E，E，现在将4张卡片随意排成一列，则恰好排成英文单词DEED的概率p = 1/6 ．
分析 这是一道古典型概率的小计算题．4张卡片的全排列有4！=24种，其中恰好排成英文单词DEED的总共4种：两个字母D交换位置计2种，两个字母E交换位置计2种．因此，所求概率为
41p??．
246例1.8（古典型概率） 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区E1,E2和
3和4节车皮，则发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p= 1/210 ． E3的各2，
分析 1）(古典型) 设A=｛同一地区的车皮相邻｝；Bi={发往Ei的车厢相邻}(i?1,2,3)．
将发往E1,E2和E3车皮各统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3?=6种不同情形，其中每种情形对应B1，B2和B3的一种排列．６种不同情形都是等可能的，如B1B2B3是其中一种可能的情形，即“发往E1的２节车皮编在最前面，发往E2的３节车皮编在中间，发往E3的４节车皮编在最后面”．由(1,3)式，有
2 ! ?3 !?4 !2 ! ?3 !1 ??， ?9?8???7?6?5?1260 9 !61p?P?A??6P?B1B2B3???．12602102）(乘法公式) 计算概率P?B1B2B3?亦可利用乘法公式：
P?B1B2B3??2!3!1 ??1?．9?87?6?51260例1.12（条件概率） 设在10件产品中有4件一等品6件二等品．现在随意从中取出两件，已知其中至少有一件是一等品，则两件都是一等品的条件概率为 1/5 ．
P?B1B2B3??P?B1?P?B2B1?P?B3B1B2??—1.6—
分析 设A＝｛两件中至少一件一等品｝，B＝｛两件都是一等品｝．易见
2C6C222 P?B??24?．AB=B, P(AB) = P(B)． P?A??1?P?A??1?2?，
C103C1015P?AB?P?B?1??． P?A?P?A?5例1.14 (独立试验) 对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7/8，则每次射击命中目标的概率p = 0.5 ．
分析 引进事件A i＝｛第i次命中目标｝（i＝1,2,3）．由条件知，事件A1,A2,A3相互独立，且其概率均为p．已知3次独立重复射击至少命中目标一次的概率为
73 P?A1?A2?A3??1?P?A1A2A3??1?P?A1? P?A2? P?A3? ?1??1?p??．8由此得p=0.5．
例1.15（独立重复试验） 设事件A在每次试验中出现的概率为p, 则在n于是，所求条件概率为 P?BA??次独立重复试验中事件A最多出现一次的概率P= ?1?p??np?1?p? ．
nn?1分析 引进事件Ai=｛第i次试验出现A｝（i＝1,2,?,n）．事件A1,A2,?,An相互独立且每个事件的概率均为p．设Bk={在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次}(k=0,1)，则
B0?A1A2?An， B1?A1A2?An???A1?An?1An．P(B0)?P?A1A2?An???1?p? ；nP(B1)?P?A1A2?An????P?A1?An?1An??np?1?p?P?P(B0)?P(B1)??1?p??np?1?p? ．nn?1n?1
；
〖选择题〗
例1.20 设A, B和C是任意三事件，则下列选项中正确的选项是 (A) 若A?C?B?C,则A?B；(B) 若A?C?B?C,则A?B．
(C) 若AC?BC,则A?B； (D) 若AB??且A B??,则A?B． [D] 分析 本题既可以用直选法，也可以用排除法．(1) 直选法．由事件运算的对偶律，有AB?A?B????．而由A?B??且AB??，可见A和B互为对立事件，即A?B，因此（D）正确．
(2) 排除法．前三个选项都不成立，只需分别举出反例．例如，由于A,B,C—1.7—
是三任意事件，若取A?B而C??是必然事件，则A?C?B?C且A?C?B?C但A?B，从而命题（A）和（B）不成立．设A?B，C??，则
AC?BC但A?B，从而命题（C）不成立．
注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．
〖解答题〗
例1.33 (随机抽样) 假设箱中共有n个球，其中m（0≤m≤n）个是红球其余是白球．现在一个接一个地接连从箱中抽球，试求第k(1≤k≤n)次抽球抽到红球的概率p．
分析 引进事件Ak={第k次抽球抽到红球}(1≤k≤n)．对于还原抽样，显然
m． n对于非还原抽样有同样结果．问题有多种解法．
解法1 设想将n个球一一编号．这样，不但区分球的颜色，而且区分球的编号．假如将n个球一个接一个（非还原）地接连从箱中抽出，则不同抽法（基本事件）的总数为n!．导致事件Ak的不同抽法有(n－1)!×m种，即Ak共包含(n?1)! ?m个基本事件：在第k次抽球抽到红球的情形共有m种，其余n－1次
p?P?Ak??抽球不同抽法的总数等于从(n－1)!．从而
?n?1? ! ?m ?m．
p?P?Ak??n !n解法2 仍将n个球一一编号．从n个不同的球中接连抽出k个球，相当于从n个元素中选k个元素的选排列．因此总共有
Pnk?n ?n?1?? n?2???n?k?1?
种不同抽法，即基本事件的总数为Pnk．导致事件Ak的不同抽法有
Pnk??11?m ??n?1?? n?2???n?k?1??m
种，即Ak共包含m?Pnk??11个基本事件：第k次抽球抽到红球的情形共有m种，前
k?1次抽球的不同抽法的总数等于从n?1个元素中选k?1个的选排列数．于是
Pnk??11?mmp?P?Ak???． kPnn解法3 对于同颜色球不加区分．设想有n个格子依次排成一列（见插图）
1 2
k
例1.24插
—1.8—
n
将n个球分别放进n个格子(每格一球)且使m个红球占据m个固定的格子，总
m共有Cm种不同放法，即基本事件的总数为Cnn：在第k格中放一红球，然后从
?1m?1其余n?1个格子选m?1个放其余红球，总共有Cmn?1种放法，即Ak共包含Cn?1个基本事件．因此
?1Cm?n?1? ! m ! ?n?m? !?m． n?1p?P?Ak??m??m?1? ! ?n?m? !Cnn !n例1.34（配对问题） 假设四个人的准考证混放在一起，现在将其随意地发
给四个人．试求事件A＝{没有一个人领到自己准考证}的概率p．
解 引进事件：Ak={第k个人恰好领到自己的准考证}(k = 1,2,3,4)．那么，
p?P(A)?1? P?A1?A2?A3?A4?，P?A1?A2?A3?A4??P?A1??P?A2??P?A3??P?A4? ??P?A1A2??P?A1A3??P?A1A4??P?A2A3??P?A2A4??P?A3A4??
??P?A1A2A3??P?A1A2A4??P?A1A3A4??P?A2A3A4???P?A1A2A3A4?．显然，每个人领到自己准考证的概率等于1/4，即
1P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝．
4四个人各领一个准考证总共有4!种不同情形．四个人中任何两个人(例如第．．．．．一个人和第二个人)都领到自己准考证总共有1×1×2×1＝2 种不同情形（第一个人和第二个人各有一种选择，对于第三个人剩下两种选择，对于第四个人最后只剩下一种选择）．因此
21P?AiAj???(1≤i 4 !12若四个人中任何三个人（例如，第一、第二和第三人）都领到自己准考证，则第四人自然也领到自己的准考证．因此 1111P?AiAjAk???(1?i?j?k?4)；P?A1A2A3A4???．4 !244 !24 464153P?A1?A2?A3?A4??????； p?P(A)?．412242488例1.39（条件概率） 假设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的 报名表，其中女生的报名表分别为３份、7份和５份．现在随机抽取一个地区的报名表，并从中先后随意抽出两份． (1) 求先抽出的一份是女生表的概率p； (2) 已知后抽出的一份是男生表，求先抽出的一份是女生表的概率q． —1.9— 解 引进事件：Hj={报名表是第j地区考生的}(j= 1,2,3)；Ai={第i次抽到的是男生表}(i=1,2)．由条件知：P(H1)?P(H2)?P(H3)?13 ； P?A1H1??(1) 由全概率公式，得 37820 ; P?A1H2??; P?A1H3?? ．1015251?375?29p?P?A1???P?Hj?PA1Hj＝?????． 3?101525?90j?1(2) 由条件知 ??7820； P?A2H2??； P?A2H3??；1015253?777?88P?A1A2H1???； P?A1A2H2???； 10?93015?14305?205 P?A1A2H3???．25?2430由全概率公式，得 P?A2H1??1?7820?61P?A2???P?Hj?PA2Hj＝??????；3?101525?90j?13??1?785?2P?A1A2???P?Hj?PA1A2Hj??????； 3?303030?9j?1P?A1A2?2920q?P?A1A2????．P?A2?6190613??例1.40（贝叶斯公式） 假设一个人在一年内患感冒的次数X服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率?． 解 以X表示一个人在一年内患感冒的次数．引进事件：H0={服药无效}，H1={服药有效}．由条件知，X服从参数为5的泊松分布；对于k?0,1,2,?，有 5k?53k?3P?H0??0.25，P?H1??0.75；P?X?kH0??e，P?X?kH1??e．k !k !P(H1)P?X?2H1???P?H1X?2?? P(H0)P?X?2H0??P(H1)P?X?2H1?0.75?32e?3227e?3???0.8886．2?52?3?5?30.25?5e2?0.75?3e225e?27e—1.10—