；
其中， 是动量， 是质量。
特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 正比：
其中， 是普朗克常数，
是角频率。
与对应的电磁波的频率 成
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数
来表达。粒子的动量
与伴随的波函数的波长 有关：
；
其中，用矢量表达，
是波数。
。
[编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数
1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：
。
他想到
，
因此
。
并且相同地由于
，
故
。
因此得到
。
再由经典力学的公式，一个粒子的总能为
，质量为
，在势能
处移动：
。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：
。
[编辑] 薛定谔的导引
思考一个粒子，运动于一个保守的位势
。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程
；
其中，
是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：
；
其中，不相依于时间的函数
是哈密顿特征函数，
是能量。
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到
；
哈密顿主函数随时间的全导数是
。
思考哈密顿主函数 方程为
的一个常数的等值曲面
。这常数的等值曲面
在空间移动的
。
所以，在设定等值曲面的正负面后，
朝着法线方向移动的速度
是
这速度
。
是相速度，而不是粒子的移动速度 ：
。
我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数：
；
其中， 是常数，
是相依于位置的系数函数。
波函数，成为 。
注意到
的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论
，粒子的波函数 ；
其中，
的波动方程为
。
变为
；
将哈密顿主函数的公式代入
其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定
。
将
波函数代入波动方程，经过一番运算，得到
。
注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：
。
[编辑] 特性
[编辑] 线性方程
主条目：态叠加原理
薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若
与
是某薛定谔方程的解。设定
，
其中， 与 则
是任何常数。
也是一个解。
[编辑] 证明
根据不含时薛定谔方程 (1) ，
，
。
线性组合这两个方程的解，
。
所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
[编辑] 实值的本征态
不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数
与
都是某不含时薛定谔方程的，能量为
的解答。
的解答，则这
两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为
。
对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 数
是某薛定谔方程的解答，则其共轭函
也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们
只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。
转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答
。其替代波函数是另外一个解答：
。
这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。
[编辑] 幺正性
在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的几率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达，
。(3)
为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 未归一化。由于薛定谔方程为线性方程，的波函数。设定
尚
与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程
是归一常数，使得
；其中，
。
这样，新波函数
还是这个薛定谔方程的解答，而且，
相依于时
已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数
间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足幺正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。 [编辑] 证明
总几率随时间的微分表达为
。(4)
思考含时薛定谔方程，
。
其复共轭是