。
所以，
代入方程 (4) ，
在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以，
。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
[编辑] 完备基底
能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
[编辑] 相对论性薛定谔方程
主条目：相对论量子力学
薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式，
；
其中， 是光速， 是静止质量。 直接地用这关系式来推广薛定谔方程：
。
或者，稍加编排，
；
其中， ， 是达朗贝尔算符。
这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守
；
其中， 是角频率，可以是正值或负值。
对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。 保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-?粒子量子态的波函数方程：
，
其中，是自旋-? 粒子的质量， 与 分别是空间和时间的坐标。
狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。 假若，一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性
。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定
性大约为 等于粒子的质能
。当盒子的长度 。当盒子的长度
等于康普顿波长 时，能量的不确定性
小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有
一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。
[编辑] 解析方法
一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法：
? 量子微扰理论(perturbation theory (quantum mechanics)) 。 ? 变分原理(variational principle) 。 ? 量子蒙特·卡罗方法(Quantum Monte Carlo methods) 。 ? 密度泛函理论。
? WKB 近似(WKB approximation) 与半经典扩展。 对于某些特殊的状况，可以使用特别方法：
? 有解析解量子系统列表(List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。
? 哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。
? 离散 delta 位势方法(Discrete delta-potential method) 。
[编辑] 实例
[编辑] 自由粒子
主条目：自由粒子
当位势为 0 时，薛定谔方程为
。
解答是一个平面波：
，
其中， 是波矢量， 是角频率。
代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：
。
由于粒子存在的几率必须等于 1 ，波函数
必须先归一化，然后才能够表达出正
确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。 在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。：
；
其中，积分的区域是所有的 -空间。 为了简化计算，只思考一维空间，
；
其中，因子
是由傅里叶转换的常规而设定，振幅
是线性叠加的系数函数。
逆反过来，系数函数可以表达为
；
其中，
是波函数在时间
的函数形式。
所以，知道波函数在时间 波函数在任何时间的形式
的形式 。
，借由傅里叶转换，我们可以推演出
[编辑] 一维谐振子
主条目：量子谐振子
能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (图未经归一化。
） 。横轴表示位置
。此
在一维谐振子问题中，一个质量为 子的哈密顿算符
为
的粒子，受到一位势 。此粒
；
其中， 为位置。
为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程：
。
我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：
。
最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数
为厄米多项式 (Hermite polynomials) ：
。
相应的能阶为
。
值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即
乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是
，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，
一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。
[编辑] 球对称位势
主条目：球对称位势
一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为
；
其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数， 是位势， 是径向距离，
是能量。
，将拉普拉斯算子
展开：
采用球坐标
。
满足薛定谔方程的本征函数
的形式为：
，
其中，
，
，
，都是函数。
与
时常会合并为一个函数，
的形式变为：
称为球谐函数，
。
[编辑] 角部分解答
。这样，本征函数
相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程